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1、第四章 根轨迹法,4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,4-3 广义根轨迹,4-4 滞后系统的根轨迹,4-1 根轨迹的基本概念,4-5 利用根轨迹法分析系统的性能,4-6 用MATLAB绘制系统的根轨迹,控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在S平面上分布的位置有关。 决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这些根在S平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了系统的基本特性。 为此目的，依万斯（W.R.EVans）在1984年提出了根轨迹法，令开环函数的一个参数开环增益（或另一个感兴趣的参数）从0变化到，与此对应，特征方程的根，
2、便在S平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。 根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一。,二阶系统暂态响应 分为：二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统 其阻尼比、极点分布和单位阶跃响应如下图所示：,4-1 根轨迹的基本概念,一举例说明根轨迹的概念 特征方程 的根为,令开环增益从变化到，用解析方法求不同所对应的特征根的值，将这些值标在S平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着值的增加，根轨迹的变化趋势。,根轨迹的基本概念,当K=0时，S1=0，S2=-1,-1,j,根轨迹的基本概念,从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: 1、
3、稳定性：因为根轨迹全部位于左半S平面，故闭环系统对所有的值都是稳定的。 2、稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。,-1,j,3、暂态性能 （1）当0K 0.25时，闭环特征根为实根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。,（2）当K0.25时，两特征根重合，均为-0.5，系统处于临界阻尼状态。,（3）当K0.25时，两特征根变为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。,-1,j,由以上分析得知：,二绘制系统根轨迹的依据,图示系统的特征方程,绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改写为,开环传函,是复变量的函数，根据上式两边的
4、幅 值和相角分别相等的条件，可以得到,这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制系统根轨迹的重要依据。 现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件转换成实用的形式。,此时，幅值条件和相角条件可写成,开环零点； 开环极点,注意这个形式和求稳态误差的式子不同，需变换成这种形式。,将开环传递函数写成下列标准的因子式,根轨迹的基本概念,三根据相角条件确定根轨迹上的点,设某一系统的开环零极点如图，在平面中的任意一点 S0 ，用相角条件可以判断 S0 是不是根轨迹的点。,1、从 S0 到各零极点连直线,2、用量角器量 ，等各个角,3、将量好的值代入（）式，若等式成立，则 S0 就是根轨迹上的点,根轨迹的
5、基本概念,不满足，故 S0 不是根轨迹上的点。,在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹上的点。允许有一定的误差，比如。而其它区段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。,绘制根轨迹图时，平面虚轴和实轴的坐标比例应取得一致。,4-2 绘制根轨迹的基本规则,绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准确、更迅速的绘制根轨迹。,一根轨迹的对称性,实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。,二根轨迹的起点和终点,根轨迹的起点对应于 时特征根在S平面上的分布位置，而根轨
6、迹的终点则对应于 时，特征根在S平面上的分布位置。,幅值条件改写,当 ，必有S= ，即起点是开环极点。 当 ，必有S= ，即终点是开环零点。,但在控制系统中，总有nm，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处。 举例如题， ，起点：0、-1，无零点， n=2，m=0，n-m=2，有两条根轨迹,-1,j,绘制根轨迹的基本规则,三根轨迹的分支数,根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。,四实轴上的根轨迹,在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。,设系统开环零、极点分布如图所示。为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在
7、和 之间任选一个试验点 。,绘制根轨迹的基本规则,1、共轭复数极点到 的幅角之和为0，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。 2、若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件。试验点左侧的开环零、极点提供的相角为0,而右侧的相角为180。 点满足相角条件，所以 之间是根轨迹。,例4-1：,（单位反馈）, 有三个极点， 根轨迹有三条分支,j, n=3, m=2 有3-2=1条根轨迹， 2条终止于开环零点。,在实轴上不同段上取试验点,绘制根轨迹的基本规则,五根轨迹的渐近线,1、根轨迹中（n-m）条趋向无穷远处的分支的渐近线的 倾角为,，（n-
8、m-1),当 时，求得的渐近线倾角最小；,增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有(n-m)条,绘制根轨迹的基本规则,2、渐近线与实轴的交点,渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数。在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可。,例4-2,求根轨迹,解：在平面中确定开环零、极点的位置。,j,确定实轴上的根轨迹。,n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向无穷远处。,确定渐近线的位置,绘制根轨迹的基本规则,六、分离点和会合点,两条根轨迹分支在S平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。它对应于特征方程中的二重根（如例4-2，实轴上
9、的根轨迹要从某一点分开，然后沿渐近线方向趋向无穷远处，把分离点所对应的1值代入特征方程，应求得二重根）。 根轨迹关于实轴对称， 分离点或会合点必然是实数或共轭复数 常见的分离点或或会合点位于实轴上。 求方程式 的根，可以确定分离点或会合点。,绘制根轨迹的基本规则,例4-2，求分离点上的坐标。 系统的特征方程为 或,上式的根,因为分离点在0至-1之间，故 为分离点的坐标，而舍弃,用幅值条件确定分离点的增益：,七、根轨迹与虚轴的交点,当 增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半S平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹与虚轴的交点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的
10、开环增益 。 在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。可以用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。,续例4-2，将 代入特征方程。,当 时，系统出现共轭虚根 ，此时系统处于临界稳定状态。,在确定根轨迹与虚轴的交点，求出分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的大概趋势知道了，为了能较精确的画出根轨迹，需在分离点附近取几个试验点，使其满足相角条件。然后连成光滑曲线，最后逐渐靠近渐近线。,绘制根轨迹的基本规则,绘制根轨迹的基本规则,八、根轨迹的出射角和入射角,当系统存在共轭复数极点（或零点）时，为了准确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根轨迹的出射
11、角（或入射角）。 根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方向的夹角称为出射角。出射角表示根轨迹从复数极点出发时的走向。,开环复数零点处，根轨迹的入射角为,式中,即 为其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角,开环复数极点处，根轨迹的出射角为,绘制根轨迹的基本规则,求从 出发根轨迹的出射角。,用量角器量后，得 ， 在图上标出 。 的出射角和 对称。,根轨迹绘制举例,例1.具有一个零点和3个实极点的三阶系统的根轨迹。,设系统的开环传递函数为：,解：,把开环传递函数化为零、极点形式,1.根轨迹有3条分支，起点为开环极点0、0、-1/T，终点为开环零点-1/及无穷远处。,2.根轨迹在实轴上的分布为
12、 -1/T，-1/ 。,3.根轨迹有n-m=2条渐近线，,例2.具有一对开环复根和一个开环实零点的四阶系统的根轨迹。,设系统的开环传递函数为：,解：,1.根轨迹有4条分支，起点为开环极点 0、 -3、 -1+j、-1-j，终点为开环零点-2及无穷远处。,2.根轨迹在实轴上的分布为(-,-3和-2，0。,3.根轨迹有n-m=3条渐近线，,4.极点-1+j的出射角为-26.6o 极点-1-j的出射角为+26.6o,5.根轨迹与虚轴的交点,系统特征方程为,把s=j代入上式可解得,即根轨迹与虚轴的交点为 ，相应的根轨迹 增益为Kgc=7 。,4-3 广义根轨迹,其它种类的根轨迹:,3.正反馈回路和零度
13、根轨迹,2.多回路系统的根轨迹,1.参数根轨迹,在实际系统设计中，除了根轨迹增益Kg外，还常常要分析其它参数变化时对闭环特征根的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。,除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参数根轨迹。,绘制方法：用特征方程中不含可变参数的部分去除特征方程，得到等效的开环传递函数，使参变量的位置与Kg 的位置相当。,一、参数根轨迹,例1.一随动系统如图所示，试用根轨迹法分析其反馈系数 Kf 对系统暂态性能的影响。,解：,开环传递函数为,等效开环传递函数为,特征方程为,等效开环传函,1. 根轨迹有两条分支，起点为开环极点-1+j3、 -1-j3 ，
14、终点为开环零点0及无穷远处。,2. 根轨迹在实轴上的分布为(-,0 。,3.求分离点和会合点。,s1=-3.16为会合点，相应的Kf =0.432 s1=+3.16不在根轨迹上，舍去。,4. 求极点p1= 1+j3处的出射角,由对称性可知 p2=-1-j3处的出射角为,以Kf为参变量的根轨迹如图所示。,等效开环传函,等效开环传递函数为,分析：,Kf为任何值系统都是稳定的。,当Kf0.432时，系统有一对共轭复根，阶跃响应为欠阻尼情况，且Kf越小，阻尼比越小；,当Kf=0.432时，系统有二重根，阶跃响应为临界阻尼情况；,当Kf 0.432时，系统有两个不相等的实根，阶跃响应为过阻尼情况。,等效
15、开环传递函数为,分析：,用幅值条件可求得相应的Kf 值。,求 时的闭环极点及Kf 值。,作 的射线与根轨迹的交点即为所求闭环极点。,二、多回路系统的根轨迹,根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。,系统的开环传递函数,系统特征方程,以为参数,研究以Kc 为变量的根轨迹,系统有两个环，内环的闭环极点就是外环的开环极点！,1）绘制内环的根轨迹图,内环的开环传递函数,根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图,2)确定内环的闭环极点,要求内环的反馈系数 3.2Kf3.5,内环的特征方程,在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36,3)绘制外环的根轨迹图,外环的开环传递函数,可求得内环的另外两个闭环极点为,1、局部正反馈系统的框图,正反馈回路的闭环传递函数,特征方程,三、正反馈回路和零度根轨迹,幅值条件,相角条件,特征方程,对于正反馈回路： 相角条件为 ， 因此通常也称为零度根轨迹。,绘制正反馈回路根轨迹的基本规则：,（1）根轨迹的分支数 (相同) （2）根轨迹的起点和终点 (相同) （3）根轨迹的对称性 (相同),（4）实铀上的根轨迹： 实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环实数零、 极点数目之和为偶数。,（5）根轨迹的渐近线： 根轨迹渐近线与实袖的交点 (相同) 根
