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1、学科：高等数学学科：高等数学 第三章第三章 微分中微分中值值定理及定理及导导数的数的应应用用 知识点知识点3131 有关中值定理证明题的典型实例有关中值定理证明题的典型实例 相关概念、公式定理或结论相关概念、公式定理或结论 定义定义 * 定理定理 * 结论结论 * 考考频频: :5 知知识识点点31 配套配套习题习题 说说明：明：本知识点的精妙解析思路均来自同济大学出版社出版的考研高等数 学专题全讲，以下简称高数专题.大家同时也可以结合知识点29的方法来分析 . 例例31.1(难度系数0.4) 设在连续，在可导，又，求证：存在，使得( )f x, a b( , )a b0ba,( , )a b
2、 . ln( ) ( )( ) b a ff ba 解析：解析：根据“不同的中值分开”的原则，待证结论等价于 ln( ) ( )( ) b a ff ba ，由于有两个中值，所以需要用两次中值定理，结合拉格朗 ( ) lnln ( ) 1 fba f ba 日中值定理和柯西中值定理来证明即可. 证证明：明：由于，等式两边在上分别应用拉 ( )( )( )( ) lnln lnln f bf af bf aba bababa , a b 格朗日中值定理和柯西中值定理，可知分别存在，使得,( , )a b ， ( )( ) ( ) f bf a f ba ( )( )( ) 1 lnln f bf
3、 af ba 结合两式，可得. ln( ) ( )( ) b a ff ba 妙招妙招：通过待证式分析需要用哪种中值定理及用的次数 待证式若有两个不同中值，则需要用两次中值定理；每次用中值定理只能求一次 导，因此，可以从待证式中导数的阶数判断用中值定理的次数，所有这些从 蛛丝马迹寻找突破口的方法颇像福尔摩斯探案，具体请见高数专题. 例例31.2(难度系数0.4,2005年考研数学一真题） 已知在内连续 在( )f x0,1 内可导，证明：(0,1)(0)0f(1)1f （1）存在，使得；(0,1)( )1f （2）存在不同的两点，使得.,(0,1) ( )( )1ff 解析：解析：（1）由来构
4、造辅助函数，利用根的存在性定( )1f ( )( )1g xf xx 理即零点性即证.（2）由于有两个中值，提示要用两次中值定理（参见高数专题） ，结合（1）的结论，分别在，上应用拉格朗日定理即证.(0, )( ,1) 证证明：明：（1）令，显然其在闭区间0，1上连续，并且，( )( )1g xf xx(0)1g ，(1)1g 由根的存在性定理知，存在，使得，即.(0,1)( )( )10gf ( )1f （2）利用（1）中存在的，在，上分别应用拉格朗日中值定理(0,1)(0, )( ,1) 有 ，( )(0)( )(0)fff (0, ) ，( )(1)(1)( )fff( ,1) 因为，从
5、而，则( )1f (0)0f(1)1f 1 ( )f ( ) 1 f .( )( )1ff 例例31.3(难度系数0.8，跨知识点53) 设在上连续，在上有一阶连续导数，且满足( )f x0,1( )g x0,1,( )0g x ，证明：（1）在内有零点；（2）若在 11 00 ( )0,( ) ( )0f x dxf x g x dx ( )f x(0,1)( )f x(0,1) 内可导，则在内有零点.( )fx(0,1) 解析：解析：（1）由积分的几何意义可得在上变号，再利用介值定理可证.（( )f x0,1 2）为了利用罗尔定理，还需要在内另外找一个零点，可用反证法证明；也可(0,1)
6、以通过辅助函数的分析，利用介值定理和罗尔定理得到 0 ( )( )(01) x F xf t dtx ，再使用罗尔定理即证. 12 ()()0ff 证证明：明：（1）由，得在上变号，由介值定理，存在， 1 0 ( )0f x dx ( )f x0,1 1 (0,1) 使得，即在内有零点. 1 ()0f( )f x(0,1) （2）证证法一：法一：首先证明在内还有另外一个零点，用反证法.( )f x(0,1) 设是在内唯一的一个零点，则在的两侧保持符号不变. 1 ( )f x(0,1)( )f x 1 因为，不妨设，则为单调增函数，于是( )0g x( )0g x( )g x 1 ( )() (
7、 )g xgf x 在与上有相同的符号. 1 (0,) 1 ( ,1) 若，则； 1 ( )() ( )0,(0,1)g xgf xx 1 1 0 ( ) () ( )0g xgf x dx 若，则. 1 ( )() ( )0,(0,1)g xgf xx 1 1 0 ( ) () ( )0g xgf x dx 又，得到矛盾，所以 111 11 000 ( )() ( )( ) ( )()( )0g xgf x dxf x g x dxgf x dx 在内还存在一个异于的零点，使得.( )f x(0,1) 1 2 (0,1) 2 ()0f 因为在内可导，由罗尔中值定理，存在，使得( )f x(0
8、,1) 12 ( ,)(0,1) .( )0f 证证法二：法二：设，则有，. 0 ( )( )(01) x F xf t dtx (0)(1)0FF( )( )F xf x 由分部积分得，即 111 1 0 000 ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )0g x f x dxg x dF xg x F xg x F x dx ，则在上变号，而为上的连续函数，由 1 0 ( ) ( )0g x F x dx ( ) ( )g x F x0,1( )g x0,1 介值定理，存在，使得，已知，于是.(0,1)( ) ( )0gF( )0g( )0F 因为在内可微，且，由罗尔定理知，存
9、( )0,1F xC(0,1)(0)( )(1)0FFF 在，使得，即. 12 ,(0,1) 12 ()()0FF 12 ()()0ff 再对在上应用罗尔定理，存在，使得.( )f x 12 , 12 ( ,)(0,1) ( )0f 例例31.4(难度系数0.6) 设在上不为常数，且有二阶连续导数，满足( )f x , a b ，.证明：（1）存在，使得为的拐点；（2）( )0fa ( )( )f af b( , )ca b( ,( )c f c( )yf x 存在，使得.( , )a b ( )( ) ( ) ff a f a 解析：解析：（1）用反证法，通过设得到，与产生矛盾，即( )0f
10、x( )0fx 0 ()0fx 证； （2）待证式可变形为，据中间为减法，联想到除( )() ( )( )0faff a 法求导公式，继续变形为，将中值变为x后积分即得 2 ( )() ( )( ) 0 () faff a a 辅助函数（注意在左端点补充定义），应用罗尔定理来 ( )( ) , ( ) 0, f xf a axb g xxa xa 证明. 证证明：明：（1）反证法：设在内无拐点.不妨设在内恒有( )f x( , )a b( )f x( , )a b ，则严格单调增加，由于，所以在内.( )0fx( )fx( )0fa ( , )a b( )0fx 另外，在上连续，必有最大值和最
11、小值.由及在( )f x , a b( )( )f af b( )f x 上不为常数，则最值不能同时在端点处取到，因此存在，使得 , a b 0 ( , )xa b ，这与上面所证矛盾.因此存在为曲线 0 ()0fx( )0fx( , ),( ,( )ca bc f c( )yf x 的拐点. （2）构造辅助函数： ， ( )( ) , ( ) 0, f xf a axb g xxa xa 则. ( )( )0g ag b 又，因此在上连续，在 ( )( ) lim( )lim( )0( ) xaxa f xf a g xfag a xa ( )g x , a b 内( , )a b 可导，由
12、罗尔定理，存在，使得，所以( , )a b( )0g ，从而有. 2 ( )() ( )( ) 0 () faff a a ( )( ) ( ) () ff a f a 例例31.5(难度系数0.6，跨知识点53 ) 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，若极限 f x, a b, a b 0fx 存在，证明： 2 lim xa fxa xa （1）在内；, a b 0f x （2）在内存在，使；, a b 22 2 b a ba f f x dx （3）在内存在与（2）中相异的点，使, a b . 22 2 b a fbaf x dx a 解析：解析：（1）由极限及连续的定义，借助单调性
13、来证明；（2）分析等式两边，具有 相同结构的差值，且左右分子与分母之间看得出有求导的“影子”（参见高数专题 ），可构造函数，利用柯西中值定理来证明；（ 2 F xx x a g xf t dt axb 3）借助问题（2）的结论，利用拉格朗日中值定理来证明. 证证明：明：（1）因为存在，故，由在上连续 2 lim xa fxa xa lim20 xa fxa f x, a b ， 从而.又知，在内单调增加，故lim2 xa fxa 0f a 0fx f x, a b , 0f xf a,xa b （2）设，则，故， 2 F xx x a g xf t dt axb 0gxf x F x g x 满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使, a b ， 22 ba aa F bF aba g bg a f t dtf t dt 2 x a x x f t dt 即. 22 2 b a ba f f x dx （3）因为，在上应用拉格朗日中值定理，知在 0ffff a, a 内存在一点，使，将其代入（2）的结论得, a ffa ， 22 2 b a ba fa f x dx
