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1、学科:高等数学学科:高等数学 第三章第三章 微分中微分中值值定理及定理及导导数的数的应应用用 知识点知识点3131 有关中值定理证明题的典型实例有关中值定理证明题的典型实例 相关概念、公式定理或结论相关概念、公式定理或结论 定义定义 * 定理定理 * 结论结论 * 考考频频: :5 知知识识点点31 配套配套习题习题 说说明:明:本知识点的精妙解析思路均来自同济大学出版社出版的考研高等数 学专题全讲,以下简称高数专题.大家同时也可以结合知识点29的方法来分析 . 例例31.1(难度系数0.4) 设在连续,在可导,又,求证:存在,使得( )f x, a b( , )a b0ba,( , )a b
2、 . ln( ) ( )( ) b a ff ba 解析:解析:根据“不同的中值分开”的原则,待证结论等价于 ln( ) ( )( ) b a ff ba ,由于有两个中值,所以需要用两次中值定理,结合拉格朗 ( ) lnln ( ) 1 fba f ba 日中值定理和柯西中值定理来证明即可. 证证明:明:由于,等式两边在上分别应用拉 ( )( )( )( ) lnln lnln f bf af bf aba bababa , a b 格朗日中值定理和柯西中值定理,可知分别存在,使得,( , )a b , ( )( ) ( ) f bf a f ba ( )( )( ) 1 lnln f bf
3、 af ba 结合两式,可得. ln( ) ( )( ) b a ff ba 妙招妙招:通过待证式分析需要用哪种中值定理及用的次数 待证式若有两个不同中值,则需要用两次中值定理;每次用中值定理只能求一次 导,因此,可以从待证式中导数的阶数判断用中值定理的次数,所有这些从 蛛丝马迹寻找突破口的方法颇像福尔摩斯探案,具体请见高数专题. 例例31.2(难度系数0.4,2005年考研数学一真题) 已知在内连续 在( )f x0,1 内可导,证明:(0,1)(0)0f(1)1f (1)存在,使得;(0,1)( )1f (2)存在不同的两点,使得.,(0,1) ( )( )1ff 解析:解析:(1)由来构
4、造辅助函数,利用根的存在性定( )1f ( )( )1g xf xx 理即零点性即证.(2)由于有两个中值,提示要用两次中值定理(参见高数专题) ,结合(1)的结论,分别在,上应用拉格朗日定理即证.(0, )( ,1) 证证明:明:(1)令,显然其在闭区间0,1上连续,并且,( )( )1g xf xx(0)1g ,(1)1g 由根的存在性定理知,存在,使得,即.(0,1)( )( )10gf ( )1f (2)利用(1)中存在的,在,上分别应用拉格朗日中值定理(0,1)(0, )( ,1) 有 ,( )(0)( )(0)fff (0, ) ,( )(1)(1)( )fff( ,1) 因为,从
5、而,则( )1f (0)0f(1)1f 1 ( )f ( ) 1 f .( )( )1ff 例例31.3(难度系数0.8,跨知识点53) 设在上连续,在上有一阶连续导数,且满足( )f x0,1( )g x0,1,( )0g x ,证明:(1)在内有零点;(2)若在 11 00 ( )0,( ) ( )0f x dxf x g x dx ( )f x(0,1)( )f x(0,1) 内可导,则在内有零点.( )fx(0,1) 解析:解析:(1)由积分的几何意义可得在上变号,再利用介值定理可证.(( )f x0,1 2)为了利用罗尔定理,还需要在内另外找一个零点,可用反证法证明;也可(0,1)
6、以通过辅助函数的分析,利用介值定理和罗尔定理得到 0 ( )( )(01) x F xf t dtx ,再使用罗尔定理即证. 12 ()()0ff 证证明:明:(1)由,得在上变号,由介值定理,存在, 1 0 ( )0f x dx ( )f x0,1 1 (0,1) 使得,即在内有零点. 1 ()0f( )f x(0,1) (2)证证法一:法一:首先证明在内还有另外一个零点,用反证法.( )f x(0,1) 设是在内唯一的一个零点,则在的两侧保持符号不变. 1 ( )f x(0,1)( )f x 1 因为,不妨设,则为单调增函数,于是( )0g x( )0g x( )g x 1 ( )() (
7、 )g xgf x 在与上有相同的符号. 1 (0,) 1 ( ,1) 若,则; 1 ( )() ( )0,(0,1)g xgf xx 1 1 0 ( ) () ( )0g xgf x dx 若,则. 1 ( )() ( )0,(0,1)g xgf xx 1 1 0 ( ) () ( )0g xgf x dx 又,得到矛盾,所以 111 11 000 ( )() ( )( ) ( )()( )0g xgf x dxf x g x dxgf x dx 在内还存在一个异于的零点,使得.( )f x(0,1) 1 2 (0,1) 2 ()0f 因为在内可导,由罗尔中值定理,存在,使得( )f x(0
8、,1) 12 ( ,)(0,1) .( )0f 证证法二:法二:设,则有,. 0 ( )( )(01) x F xf t dtx (0)(1)0FF( )( )F xf x 由分部积分得,即 111 1 0 000 ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )0g x f x dxg x dF xg x F xg x F x dx ,则在上变号,而为上的连续函数,由 1 0 ( ) ( )0g x F x dx ( ) ( )g x F x0,1( )g x0,1 介值定理,存在,使得,已知,于是.(0,1)( ) ( )0gF( )0g( )0F 因为在内可微,且,由罗尔定理知,存
9、( )0,1F xC(0,1)(0)( )(1)0FFF 在,使得,即. 12 ,(0,1) 12 ()()0FF 12 ()()0ff 再对在上应用罗尔定理,存在,使得.( )f x 12 , 12 ( ,)(0,1) ( )0f 例例31.4(难度系数0.6) 设在上不为常数,且有二阶连续导数,满足( )f x , a b ,.证明:(1)存在,使得为的拐点;(2)( )0fa ( )( )f af b( , )ca b( ,( )c f c( )yf x 存在,使得.( , )a b ( )( ) ( ) ff a f a 解析:解析:(1)用反证法,通过设得到,与产生矛盾,即( )0f
10、x( )0fx 0 ()0fx 证; (2)待证式可变形为,据中间为减法,联想到除( )() ( )( )0faff a 法求导公式,继续变形为,将中值变为x后积分即得 2 ( )() ( )( ) 0 () faff a a 辅助函数(注意在左端点补充定义),应用罗尔定理来 ( )( ) , ( ) 0, f xf a axb g xxa xa 证明. 证证明:明:(1)反证法:设在内无拐点.不妨设在内恒有( )f x( , )a b( )f x( , )a b ,则严格单调增加,由于,所以在内.( )0fx( )fx( )0fa ( , )a b( )0fx 另外,在上连续,必有最大值和最
11、小值.由及在( )f x , a b( )( )f af b( )f x 上不为常数,则最值不能同时在端点处取到,因此存在,使得 , a b 0 ( , )xa b ,这与上面所证矛盾.因此存在为曲线 0 ()0fx( )0fx( , ),( ,( )ca bc f c( )yf x 的拐点. (2)构造辅助函数: , ( )( ) , ( ) 0, f xf a axb g xxa xa 则. ( )( )0g ag b 又,因此在上连续,在 ( )( ) lim( )lim( )0( ) xaxa f xf a g xfag a xa ( )g x , a b 内( , )a b 可导,由
12、罗尔定理,存在,使得,所以( , )a b( )0g ,从而有. 2 ( )() ( )( ) 0 () faff a a ( )( ) ( ) () ff a f a 例例31.5(难度系数0.6,跨知识点53 ) 设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,若极限 f x, a b, a b 0fx 存在,证明: 2 lim xa fxa xa (1)在内;, a b 0f x (2)在内存在,使;, a b 22 2 b a ba f f x dx (3)在内存在与(2)中相异的点,使, a b . 22 2 b a fbaf x dx a 解析:解析:(1)由极限及连续的定义,借助单调性
13、来证明;(2)分析等式两边,具有 相同结构的差值,且左右分子与分母之间看得出有求导的“影子”(参见高数专题 ),可构造函数,利用柯西中值定理来证明;( 2 F xx x a g xf t dt axb 3)借助问题(2)的结论,利用拉格朗日中值定理来证明. 证证明:明:(1)因为存在,故,由在上连续 2 lim xa fxa xa lim20 xa fxa f x, a b , 从而.又知,在内单调增加,故lim2 xa fxa 0f a 0fx f x, a b , 0f xf a,xa b (2)设,则,故, 2 F xx x a g xf t dt axb 0gxf x F x g x 满足柯西中值定理的条件,于是在内存在点,使, a b , 22 ba aa F bF aba g bg a f t dtf t dt 2 x a x x f t dt 即. 22 2 b a ba f f x dx (3)因为,在上应用拉格朗日中值定理,知在 0ffff a, a 内存在一点,使,将其代入(2)的结论得, a ffa , 22 2 b a ba fa f x dx