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1、,概率论与数理统计 第十八讲,北京工业大学应用数理学院,从前面两节的讨论中可以看到: 同一参数可以有几种不同的估计,这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 另一方面,对于同一个参数,用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是:评价一个估计量“好”与“坏”的标准。,7.3 估计量的优良性准则,设总体的分布参数为,,对一切可能的 成立,则称 为 的无偏估计。,7.3.1 无偏性,对于样本 X1,X2,Xn的不同取值, 取不同的值 )。,如果 的均值等于,即,简记为 是 的一个估计(注意! 它是一个统计量,是随机变量。,参数,有时可能估
2、计偏高,有时可能偏低,但是平均来说它等于。 “一切可能的 ”是指:在参数估计问题中,参数 一切可能的取值。 我们之所以要求对一切可能的 都成立, 是因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数 的真实取值。自然要求它在参数 的一切可能取值的范围内都成立,说明:无偏性的意义是:用估计量 估计,例1:设 X1, X2, , Xn 为抽自均值为 的总体X的随机样本,考虑 的如下几个估计量:,例如:若 指的是正态总体N( , 2)的均值,则其一切可能取值范围是(-,)。若 指的是方差2,则其一切可能取值范围是(0,)。,定理1:设总体 X 的均值为,方差为2, X1,X2,Xn 为来自总体 X 的随机样本
3、,记 与 分别为样本均值与样本方差,即,即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估计。,证明:因为 X1, X2, , Xn 独立同分布,且 E(Xi )= , 所以,另一方面,因,于是,有,注意到,前面两节中,我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体 N( , 2) 中参数 2 的估计,均为,很显然,它不是 2 的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为 n-1,获得样本方差 S2来估计 2 的理由。,例2:求证:样本标准差 S 不是总体标准差 的无偏估计。,证明:因 E(S2)= 2, 所以,Var(S)+E(S)2 = 2, 由 Var(S)0,知 E(S)2 = 2
4、 - Var(S) 2. 所以,E(S) . 故,S 不是 的无偏估计。,用估计量 估计,估计误差,II. 均方误差准则,是随机变量,通常用其均值衡量估计误差的大小。 要注意: 为了防止求均值时正、负误差相互抵消,我们先将其平方后再求均值,并称其为均方误差,记成 ,即,哪个估计的均方误差小,就称哪个估计比较优,这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。,注意:均方误差可分解成两部分:,证明:,上式表明,均方误差由两部分构成:第一部分是估计量的方差,第二部分是估计量的偏差的平方和。,注意:如果一个估计量是无偏的,则第二部分是零,则有:,如果两个估计都是无偏估计,这时哪个估计的方差小,哪个估计就较
5、优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。,例3:设 X1, X2, , Xn 为抽自均值为 的总体,考虑 的如下两个估计的优劣:,我们看到: 显然两个估计都是 的无偏估计。计算二者的方差:,这表明:当用样本均值去估计总体均值时,使用全样本总比不使用全样本要好。,前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值 (即实轴上点) 来估计未知参数。,7.4 正态总体的区间估计(一),其优点是:可直地告诉人们 “未知参数大致是多少”;,缺点是:并未反映出估计的误差范围 (精度)。故,在使用上还有不尽如人意之处。,而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处 。,例如:在估计正态总体均值 的问题中,若
6、根据一组实际样本,得到 的极大似然估计为 10.12。,一个可以想到的估计办法是:给出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数 的可靠度 (也称置信系数)。,实际上, 的真值可能大于10.12,也可能小于10.12。,也就是说,给出一个区间,使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数 。,这里的“可靠度”是用概率来度量的,称为置信系数,常用 表示,置信系数的大小常根据实际需要来确定,通常取0.95或0.99,即,根据实际样本,由给定的置信系数,可求出一个尽可能短的区间 ,使,为确定置信区间,我们先回顾前面给出的随机变量的上 分位点的概念。,书末附有2分布、t 分布、F分布的上侧分位数表可供使用。需要
7、注意的地方在教材上均有说明。,现在回到寻找置信区间问题上来。,7.4.1 置信区间的定义,定义1:,实际应用上,一般取 = 0.05 或 0.01。,7.4.2 正态总体参数的区间估计,根据基本定理 (见定理6.4.1) ,知,也可简记为,于是, 的置信区间为,例1: 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个,长度 测量值如下(单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求: 的置信系数为0.95的区间估计。,解:n = 6, = 0.05,z/2 = z0.025 = 1.96,2=0.22 .,所求置信
8、区间为,当方差未知时,取, 的区间估计,于是, 的置信系数为1- 的区间估计为,也可简记为, 2 的区间估计,例2:为估计一物体的重量,将其称量10次,得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N( , 2)。求 的置信系数为0.95的置信区间。,解: n=10, =0.05, t9 (0.025)=2.2622,例3(续例2): 求2的置信系数为0.95的置信区间。,解:n=10, = 0.05, S2=0.0583, 查附表得,,于是,,小结,本讲首先介绍了估计量的评优准则,包括:无偏性和均方误差准则;然后介绍了区间估计的基本概念,详细讨论了正态总体均值和方差的区间估计。,