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1、北京大学政学者论文集（2001年） 大型科技会议议程安排问题 大型科技会议议程安排问题The Scheduling of Large Academic Conference北京大学数学学院98级 于海军摘要本文利用图论作为工具讨论了一般科技会议的议程安排问题，给出了议程确定的一些准则，并对不同的情况给出了用计算机进行自动安排议程的算法。本文主要的实例是1998年在德国举行和2002年将在北京举行的两届世界数学家大会。作者利用本文的算法实现了一个议程安排程序，可以方便地解决各种大型会议的议程自动安排问题。AbstractWith graph theory, this article analys
2、is the scheduling of normal academic conferences, and give an algorithm of schedule planning. The main examples of this article are the two International Conference of Mathematics just held in Berlin 1998 and will hold in Beijing 2002. A computer program was made according to the algorithm. It can g
3、ive the scheduling of kinds of large-scale academic conferences.一、议程安排问题的数学描述（一） 问题的提出在各种国际学术交流中，召开学术会议是最直接的了。目前的国际学术会议种类有很多，规模也在逐渐变大。往往出席人数超过千人，会议场次超过百场，可能分多个专题小组，这就涉及到议程安排问题。以1998年在德国柏林举行的世界数学家大会为例：参加人数超过4000人，分为19个小组，在10天的时间内（包括一个休息日）共安排了大会报告21场，邀请报告164个，口头报告和书面报告1171个。如何将这些报告安排在9天的时间内，使它们互不冲突，这就
4、是议程安排问题。需要指出的是，科技会议议程安排问题之所以能成为一个数学问题是因为这种会议除了大会形式之外还有分组会议，存在大量的并行进行的场次。因此，如果两个场次中有同样的主持人或者发言人，那么这两个场次就不能同时进行；一般情况下，属于同一个分组的场次也不能同时进行。如果会议没有分组，也就没有同时进行的场次，那么议程安排就是一个简单的排序。（二） 问题的数学描述1、 原始问题议程安排考虑的主要对象是：场次、时间片和会场。场次由会议的程序委员会确定，时间片由组委会根据惯例或者当地的作息情况确定，会场是组委会根据对会议的人数、场次等项的估算而安排给会议使用的会场。场次有以下几个属性：“分组”、“会
5、场大小要求”、“房间媒体要求”、“主持人”、“所有发言人”、“场次类型”；会场有“人数”、“媒体配置”两个属性；时间片有“类型”一个属性，不同类型的时间片有不同的时间长度，对应于不同的场次类型，一般为了安排的方便，各个时间片之间是不重叠的。如果会议场次多且关系复杂，可以给不同类型的场次集合分配不同类型且不相交的时间片集合，从而将一个庞大的议程安排问题分解成几个较小的议程安排问题，使问题的规模降低。定义两个场次固有冲突，如果两个场次属于相同的分组或者两个场次有相同的主持人或发言人。如果两个场次有固有冲突，则它们不能安排在同一个时间片内。一般来说，除了固有冲突，议程安排者可能会不希望特定的两个场次
6、同时进行甚至会希望一个场次一定要在另一个场次之前进行。我们把所有这些场次与场次之间的关系叫做冲突关系或限制关系。把前者叫做无序冲突或无序限制，后者叫做有序冲突或有序冲突。议程安排问题就是在场次、会场、时间给定的情况下， 为每个场次指定一个时间片，一个会场，并且使得有a、 有冲突的场次不在相同的时间片内，对于有序冲突，场次要满足序的限制。b、 同一时间同一会场最多一个场次c、 会场的大小、媒体配置要符合场次的要求。2、 条件的简化（1） 将场次的房间大小，媒体要求与每一个会场做比较，可以得到每个场次的可用房间列表，可以用一个0、1矩阵A表示,A(i,j)=1表示第i个场次可以使用第j个房间，否则
7、表示不可以使用。（2） 场次之间的冲突关系可以用一个有向图表示。场次作为端点，冲突关系作为边。如果是规定了顺序的冲突，就是有向边，否则是无向边。这个图在议程安排之前计算出来，它可以用两个0、1矩阵表示，一个表示有序冲突，其对应矩阵A满足：若A(i,j)=1,A(j,k)=1 则A(i,k)=1;另一个表示无序冲突相应的矩阵是对称的。3、 数学表述给定场次集合为 ，会场集合为 ，时间片数为k,无序冲突矩阵,有序冲突矩阵,场次会场可用关系矩阵 ,议程安排问题就是求S的一个划分,以及场次到会场之间的一个映射r，满足以下条件：（1）（2）设 若若（3）设 若（4）若二、相关预备知识（一）图论基本概念我
8、们用G=(V,E)表示一个图，V表示图的顶点集合，E表示点和点之间的连线的集合，这些连线称为边。如果边全是有方向的称为有向图，如果边全都没有方向称为无向图。V中元素的个数称为顶点数或阶；E中元素的个数称为边数。在无向图中，与一个顶点x相连的边的数目称为顶点的度，记为d(x)。顶点度为零的点称为孤立点。用(G)和(G)分别表示G的最大和最小顶点度。图G中连接顶点x和y且长度为k的链W，记为xy链，是指顶点xi和边aj交替出现的序列,其中与边相连的两个顶点和正好是的两个端点。X和y称为W的端点，其余的端点成为内部点。W中边的数目k称为W的长度。边互不相同的链称为迹，内部点互不相同的迹称为路。两端点
9、相同的链（迹、路）称为闭链（迹、路）。设W是有向图G中xy链（迹、路），指定W的方向从x到y,若W中所有边的方向与此方向一致，则称W为D中从x到y的有向链（迹、路），记为(x,y)链（迹、路）。对图G中的任意两个端点x,y,若G中存在连接x和y的路，则称x和y是连通的。命题一 在议程安排问题中，如果表示顺序冲突的有向图中存在有向闭链，则这个议程安排问题是无解的。（二）2部分图与匹配问题若图G的顶点集可以划分为两个非空子集X和Y使得X中任何两顶点之间无边相连且Y中任何两顶点之间也无边相连，则称该图为2部分图，X,Y称为2部划分。设G是无环非空图，M是E(G)的非空子集，若M中任意两条边在G中均不
10、相邻，则称M为G的匹配。G中与M中边关联的顶点称为M饱和点。反之，称为非饱和点。若G中所有的点都饱和，则称M为完备匹配。若对G的任何匹配M均有|M|M|,则称M为G的最大匹配。设M是二部图G=(V,E)的一个匹配。设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。若一条交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。自然，一条边的两端点是非饱和的，则这条边也是可增广道路。对称差：A,B是两个集合，定义定理一 M为最大匹配的充要条件是不存在可增广道路。定理证明参见，第169页。定理二 对于二部分图G,存在一个匹
11、配M,使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X的一切子集A,和A邻接的点集为(A),恒有：证：必要性：若存在一个匹配M，使得X关于M饱和，是显然的，因为不论其中多少人，每个人至少有一项彼此不同的工作。充分性：若对于任何，恒有 ，则可以按下面的方法作出匹配M,使得X关于M饱和。先作任一初始匹配，若已使X饱和，则定理已证。如若不然，则X中至少有一点x0非饱和，则从x0出发，检查从x0开始，终点在Y的交互道，可能有一下两种情况发生：（1） 没有任何一条交互道，可以达到Y的非饱和点，这时由于从x0开始的一切交互道，终点还是在X，故对于X的子集A有 。这与假设矛盾，所以这种情况是不可能的。（2）
12、存在一条从x0出发的交互道，终点为Y的非饱和点，则这条道路便是可增广道路，因而可以改变一下匹配使x0点饱和。重复以上的过程，就可以得到匹配M，使得X全部饱和，定理的充分性得证。上面得证明给出了一个求最大匹配得算法，这个算法习惯上被称为匈牙利算法。定理三 设G是2部分图且p,则G中存在p个不交匹配M1,M2,.,Mp,使得并对每个均有(表示图的边数)证明参见，第311页。（三）色数问题已知图G(V,E),其中|V|=n,|E|=m,对图G的所有顶点进行着色时，要求相邻的两顶点的着色不一样，问至少要多少种颜色？这就是顶点的着色问题。对图G(V,E)的顶点进行着色的结果就是把顶点集V划分成若干个不相
13、交的子集，而且每一子集中的任意两点都不相邻，这样的集合叫做独立集。设图G的某一顶点集合是独立集，但是任意增加一点就破坏它的独立性，则称这个独立集是极大的独立集。图中顶点个数最多的极大独立集叫最大独立集，它的的顶点数叫做图的独立数。引理一 独立集问题是NP完全的。所谓独立集问题就是：任给一个无向图G(V,E)和非负整数 J|V|,问G是否有大小不小于J的独立集？这个问题是一个典型的NP完全问题。证明可以参见，第243246页。由这个引理很容易得到下面的结果。命题二 顶点着色问题是NP完全的。三、理论分析（一）议程安排的参数确定1、时间片个数k的确定k0是理论上能使议程安排成功的最少时间片数，在没
14、有有序冲突，并且足够会场的条件下，k0就是场次及其冲突关系形成的图点着色的色数。在一般情况下，k0是比较难确定的。在实际操作中k一般按惯例来取。2、会场的个数m（二）问题的复杂性分析议程安排问题可以近似地看成两个问题的组合。1、会议场次的时间安排，使之两两之间不冲突，并满足预定义的顺序。2、给每个时间段内的场次安排会场。先看第二个问题，用点表示场次和会场，用点和点之间的连线表示场次和会场之间的可用关系。这样就形成一个2部分图。会场安排时间上就是求这个2部分图的最大匹配。这可以用匈牙利算法求解。对于图G=(V,E),|V|=n,|E|=m，算法的复杂度是O(mn)。目前最好的算法的复杂度是O(m
15、n1/2)。参见，第268页。再看第一个问题。第一个问题是一个比较困难的问题，目前尚未见到精确而快速的算法。即使不考虑有序冲突的限制，解起来也是困难的。在冲突全都是无序冲突的时候，第一个问题实际上可以化成一个图的点着色问题。对这个问题的求解只能采取近似算法，比如鲍威尔法。为了得到理想的结果只能对冲突关系集合作一些特殊限定。当考虑到顺序关系时，问题就更复杂了。在这种情况下，当将不冲突的两个场次安排在同一时间进行时，可能使其它的原本不冲突的场次变得冲突了。比如，有1、2、3、4四个场次，它们之间的冲突关系如图所示，（1，3），（2，4）都是不冲突的，但是当把1，3安排在同一时间进行时，2，4就有冲突了。而无序冲突就没有这个问题。 1 4 2 3 图1四、算法设计（一）一般情况的近似算法在算法之前，为了便于指代，先定义几个名词。把顺序关系及由其连接起来的点组成的连通图称为链块，在一个顺序冲突集（对应于一个有向图
