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1、2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案2015年全国初中数学联合竞赛试题 第一试（A）一、选择题（每小题7分，共42分）2222221设实数a，b，c满足：a+b+c=3，a2+b2+c2=4，则a+bb+2-c+c2-a+c+a2-b=（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 92若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m8，n），则n（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 243矩形ABCD中，AD5，AB10，E、F分别为矩形外的两点，BEDF4，AFCE3，则EF（ ） D CA B15 FE C D AB4已知O为标原点，位于第一象限的
2、点A在反比例函数y=1x(x0)的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数y=-4x(x0)的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数y=-4x(x0)的图象上，且OAOB，则tanABO的值为（ ） A12B C1 D26设n是小于100的正整数且使2n2-3n-2是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ） A784 B850 C1536 D1634二、填空题（每小题7分，共28分）7设a，b是一元二次方程x2-x-1=0的两根，则3a3+4b+2a2的值为. 8三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分BAC，AB20， AD AC的长为.
3、10在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得abbccddeea最小，则这个最小值为 .第二试（A）1（20分）关于x x有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围. 2（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且ACBD，ABAC. 过点D作DFBD，交BA的延长线于点F，BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N. （1）证明：BAD3DAC； （2）如果BF-DFCDBD=AC，证明：MNMD. 3（25分）设正整数m，n满足：关于x的方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个正整数解，证明：2(m2+n2)5mn. 第二试（B）1（20
4、分）若正数a，b满足ab1，求M=111+a+1+2b的最小值. 2（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且ACBD，ABACBD. 过点D作DFBD，交BA的延长线于点F，BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N. （1）证明：BAD3DAC；（2）如果MNMD，证明：BFCDDF.3（25分）若关于x的方程x2-34x+34k-1=0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值. 2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试（A）1. 解：D. 提示：a+b+c=3，a2+b2+c2=4，a2+b2b2+c22-c+2-a+c2+a22-b=4-c22-c+
5、4-a22-a+4-b22-b=(2+c)+(2+a)+(2+b) =6+(a+b+c)=9.2. 解：C. 提示：依题意，有n=m2+bm+c=(m-8)2+b(m-8)+c，于是可得b=8-2m. 抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，b2-4c=0，c=14b2=(4-m)2.因此n=m2+bm+c=m2+(8-2m)m+(4-m)2=16.3. 解：C. 提示：易知AFDBEC90，BECDFA，DAFBCE. 延长FA，EB交于点G. D CGAB90DAFADF，E GBA90CBEBCEDAF，F BGAAFD，且AGB90，AG8，BG6， BGF11，GE10 ，EF
6、.G4. 解：A. 提示：过点A、B分别作ACx轴，BDx轴，垂足为C、D. 由OAOB得AOB90，于是可得AOCOBD， ABO=OAOB=1. 25. 解：B. 提示：设x+y=t，则由题设条件可知xy=x+y+1=t+1， x，y是关于m的一元二次方程m2-tm+t+1=0的两个实数根， 于是有：D=t2-4(t+1) 0，解得t2+ t2-又x2+y2=(x+y)2-2xy=t2-2(t+1)=(t-1)2-3， 当t=2- x=y=1x2+y2取得最小值， 最小值为(2-1)2-3=6-6. 解：D. 提示：5n2+3n-5是15的倍数， 5|(5n2+3n-5)，5|3n，5|n
7、. 设n=5m（m是正整数），则5n2+3n-5=125m2+15m-5=120m2+15m+5(m2-1).5n2+3n-5是15的倍数，m2-1是3的倍数， m=3k+1或m=3k+2，其中k是非负整数.n=5(3k+1)=15k+5或n=5(3k+2)=15k+10，其中k是非负整数.符合条件的所有正整数n的和是(5+20+35+50+65+80+95)+(10+25+40+55+70+85)=635. 7. 解：11. 提示：a，b是一元二次方程x2-x-1=0的两根， ab=-1，a+b=1，a2=a+1，b2=b+1， 3a3+4b+2a2=3a3+4b+2b2=3a(a+1)+4
8、b+2(b+1)=3a2+3a+6b+2 =3(a+1)+3a+6b+2=6(a+b)+5=11.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（abc）， 则3aa+b+c=24，2aa+(b+c)=24，8a12，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a，b，c）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， 所求概率为112. 9. 解：6
9、0. 提示：作EMBC于点M，FNBC于点N，FPEM于点P. E、F分别为ABD、ACD的外心， M、N分别为BD、CD的中点. 又EFBC，PFMN12BC12EF，PEF30. 又EFAD，EMBC，ADCPEF30.又ADCBBADB12(1802C)90BC，CB90ADC60.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A，B，C，D，E，F.A所在行前面需要填两个比A小的数字，A不小于3； B所在行前面需要填两个比B小的数字，且A及A所在行前面两个数字都比B小，B不小于6.同理可知：C不小于9，D不小于12，E不小于15，F不小于18.因此，第三列所
10、填6个数字之和ABCDEF36912151863.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）. 第一试（B）1. 解：B. 提示：a+b+c=3，a2+b2+c2=4，a2+b2b2+c2c2+a22-c+2-a+2-b=4-c22-c+4-a22-a+4-b22-b=(2+c)+(2+a)+(2+b) =6+(a+b+c)=9.2. 解：C. 提示：依题意，有n=m2+bm+c=(m-8)2+b(m-8)+c，于是可得b=8-2m. 抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，b2-4c=0，c=14b2=(4-m)2.因此n=m2+bm+c=m2+(8-2m)m+(4-m)2=16.3. 解：C. 提示：易知AFDBEC90，BECDFA，DAFBCE. 延长FA，EB交于点G. D CGAB90DAFADF，E GBA90CBEBCEDAF，F BGAAFD，且AGB90，AG
