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1、2 数集 确界原理,一、有界集,二、确界,三、确界的存在性定理,四、非正常确界,确界原理本质上体现了实数的完备,性，是本章学习的重点与难点.,返回,记号与术语,一、有界集,定义1,因此 S 无上界.,例1,例2,证,二、确界,定义2,若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其,中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为,上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下,确界.,注2,注1 条件(i) 说明 是 的一个上界, 条件(ii)说明,比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上,界,即上确界是最小的上界.,定义3,注2,证 先证 sup S=1.,例2,以下确界原理也可作公理
2、,不予证明.,虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的,存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集,不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值.,三、确界存在性定理,证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起,见,不妨设 S 含有非负数.,定理1.1 (确界原理),证明分以下四步:,1.S 是有上界的集合,从而 S+ 也是有上界的集合,是正规小数表示.,证法二 不妨设,事实上,例3,证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，,由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意,一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确,界, B 有下确界.,例4,yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界,而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.,于是,且,因此,因此,这就证明了,四、非正常确界,2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.,例2 设数集,求证:,证 设,于是,2.,1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否,复习思考题,3. 在上确界的定义中，,能否改为,或改为,
