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1、南京师范大学泰州学院本科毕业论文南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（设 计）（ 一 六 届）题 目： 二阶常微分方程的解法 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 潘陆 学 号 指导教师： 刘陆军 南京师范大学泰州学院教务处 制摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换Abstract: T
2、he main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristi
3、c equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem.Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant var
4、iation method; Laplasse transform目录1 绪论31.1 二阶常微分方程的起源和发展史31.2 二阶常微分方程的介绍31.3 研究二阶常微分方程的目的与意义42 二阶常系数常微分方程的几种解法52.1 特征方程法5 2.1.1 特征根是两个实根的情形5 2.1.2 特征根有重根的情形62.2 常数变易法72.3 拉普拉斯变换法93 二阶常微分方程解法的应用（分析例题）113.1 特征方程法113.2 常数变易法133.3 拉普拉斯变换法144 结论和启示16谢 辞18参考文献191 绪论1.1 二阶常微分方程的起源和发展史既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故
5、事，它的发现是人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。在发现了天王星之后，进行天文观测的人们发现它所处的位置总是和万有引力计算出的位置有些许不同，于是有人质疑万有引力定律的正确性。但也有一部分人认为，这也可能是天王星在受到一颗尚未发现的行星的吸引力才会造成的改变。不少人坚信这种假设是正确的，但却很少有人找到了正确的方法并付诸实践。而英国的一个学生亚当斯显然不是其中之一，他勇敢接受了这项任务，运用手头仅有的资料建立起微分方程，成功求出了海王星的位置与下次出现的时间。1843年10月21日，满怀信心的亚当斯把结果寄给了天文台长艾利，但换来的却是质疑，艾利并
6、不相信籍籍无名的他。然而在两年后，另一名青年勒威耶也计算出了同样的数据，并把计算的结果给予了位于柏林天文台的助理员卡勒，在那个值得铭记的夜晚，卡勒在计算出的位置上发现了第七颗行星海王星。从二十世纪三十年代以来，常微分方程的研究像是走上了快车道，迅速发展并建立起了多个分支。19271945年期间定性理论的主要研究是与无线电技术紧密联系在一起的。在第二次世界大战期间由于对通讯等方面的需求越来越高，极大地激发了对无线电技术的研究进展，尤其是对非线性振动理论的研究取得了迅速的发展。在四十年代之后各国大部分数学家们主要在研究对抽象动力系统的拓扑特征, 例如闭轨的存在性、结构的稳定性等, 对于二维系统来说
7、，我们可以通过一些方法证明他的结构稳定性；而对于一般的系统来说这个问题依旧困扰着我们。在动力系统的研究方面, 目前采用的办法是从典范方程组到阻碍集有详尽的理论指导,成功解决了一系列困扰人类多年的问题, 其中最为突出的是C封闭引理的证明, 以及对结构稳定性的充要条件等方面都作出了杰出贡献。在当今社会，由于信息技术的飞速发展，大量的领域需要用到常微分方程组进行描述。前赴后继的杰出的学者们，为了各种稳定性及专业问题，终其一生都在研究常微分方程，也取得了不朽的成就，但依然有很大的疑问等着我们去解开。1.2 二阶常微分方程的介绍二阶微分方程在时间上大致与微积分同时产生 。对于初学者来说，这样的问题就是最
8、简单的微分方程了。二阶常系数线性微分方程是形如的微分方程。与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为，其中是实常数。若函数和之比为常数，称和是线性相关的；若函数和之比不为常数，称和是线性无关的。1.3 研究二阶常微分方程的目的和意义就如上文所说，研究二阶常微分方程已经取得了不少成就，尤其是在对方程的求解方面。与此同时应用常微分方程的理论也经过大家的不懈努力，取得了丰硕的成果。但是对于进一步的发展所需，还是小巫见大巫，所以我们要更加努力的钻研，努力地完善这门学科的理论系统。在数学的发展历史中，数学分析占有非常重要的地位，我们大学学习的课程也都是以数学分析作为基础，而微分方程正是数学分析的关键所在。同
9、时它也发展出了数学分析中大部分思想以及理论。众所周知的，常微分方程自始至终都是人类用来探索自然变换，研究自身社会结构，工程问题以及大自然的生态结构的便利的道具。常微分方程由于与现实生活息息相关，所以对其的研究一直没有停止过，而且表现出欣欣向荣的活力。并且在多个学术领域中，常微分方程都占着决定性的作用，可以说常微分方程带领着人类的进步。而二阶常微分方程同样在常微分方程的整套理论中有着弥足轻重的地位，在各个研究领域中都有十分广泛的应用。2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1 特征方程法特征方程法中的特征方程，是为了对相对应的数学对象进行深入的研究而人为引入的一些等式，当研究的对象改变时，它也会改
10、变，这其中包括数列特征方程，微分方程特征方程和积分方程特征方程等等。求微分方程的通解。 解： 特征方程的根,(1)若是两个不相等的实根,那么上面这个微分方程就拥有两个实值解,于是我们可以求得其通解为（为常数）.(2)若相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状如（为常数）.(3)若为共轭复根的情况,则该方程的通解具有形状（为常数）.在数学中，许多公式与定理都需要进行证明,下面本文给出前两个解答的理论依据及证明过程。2.1.1 特征根是两个实根的情形设为该特征方程的两个不等实根,那么我们可以得出与之对应的方程的两个解为, 我们确定这两个解在上线性无关,所以它们能够组成该方程的基本解组。事实上
11、,这时 ,而上面最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,该行列式与相等。由于在之前假设了,所以此行列式不等于零,从而,于是得到 线性无关,这就是要证明的结论。而该方程的通解即可表示为（其中为任意数）.2.1.2 特征根为复根时讨论这个特征方程含有复根的情况,首先这个方程的系数为实数,同时也是常数，所以复根成对共轭出现。设是特征根之一,则就是第二个特征根,根据这两个特征根我们就可以得到原方程的两个不同的实值解:,.根据定理,我们得到的复值解的实部和虚部与方程的解相同。那么由于这一对共轭复根对应于特征方程,可以求得方程的两个实值解.2.1.3 特征根有重根的情形设特征方程有
12、重根则易得,先设,表示特征方程有因子,于是,也就是该特征方程的形状为,而与其对应的方程则变为.易得它有个解,而它们是线性无关的。于是我们可以得出,特征方程中的重零根对应方程的个彼此线性无关的解,。当这个重根,我们作变量变换,可注意到，可得,于是可将对应方程化为,而其中仍为常数,其相应的特征方程为,直接进行计算易得,因此,从而.通过这样转化,问题就化为前面所讨论过的情况了。2.2 常数变易法接下来我们要说的是求解微分方程的一种极其重要的方法,常数变易法。我们在求解一阶线性微分方程时常常采用这种方法。这个办法的大体思想，是通过将常数代入中来得到该方程的通解。看似简单，但拉格朗日为之研究奋斗了年，而
13、我们所如今所采用的仅仅是他所得出的结论，证明过程省略了。它在非齐次线性微分方程和与其对应的齐次线性微分方程之间起着重要的链接作用。我们这里讨论的对一般二阶常微分方程的求解,要先得出该方程的一个特解,再用我们上面讲解的特征方程法求通解。例题 求常微分方程的通解。 解 方程与其对应的齐次方程为,其特征方程为. 由于的通解根据理论可以得到就等于这个方程所对应的齐次线性微分方程的通解与求出的它本身的一个特解之和，而我们已经讨论了二阶常系数齐次线性常微分方程的通解,所以只要再求出一个该方程本身的特解。若为该方程的实根,则为方程的解。根据常数变易法的其中一个解为,代入原方程并进行化简得,这是即是关于的一阶
14、线性微分方程,而其一个特解为,从而得到上面方程的一个特解为. 讨论为该方程的复根的情况,可以设，则就是原方程的解，接下来用常数变易法设其中的一个特解为，通过运用情形1解得方程的一个特解为.由于是特解,所以积分常量可以都取零。2.3 拉普拉斯变换法接下来要介绍的拉普拉斯变换法是一种积分变换法，又名为拉氏转换法。它是一个线性变换法，通过因数为实数，的函数中的实数转化为复数。在某些情形下一个实变量函数在中进行运算比较困难，若能将实变量函数进行拉普拉斯转换，并在复数域中进行各种运算，再使用拉普拉斯反变换来求得该方程或函数在实数域中的相应结果，是一种简便的计算方法。拉普拉斯转换的运算步骤对于我们要求的解线性微分方程极其有效，它可以把微分方程转化为较易求解的代数方程来进行处理，使计算大幅度简化。在经典控制理论中，对于控制系统的分析但和综合等，都是立足在拉普拉斯转换
