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1、命题及其关系,1.2 四种命题,如：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有何关系？,若A=B ， 则 sinA=sinB； 若sinA=sinB， 则A=B ； 若AB ， 则sinAsinB； 若sinAsinB，则AB ；,教学提问：,两个命题之间特别是命题与其逆命题之间的真假关系又是如何呢？,观察命题 (1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？,若A=B ， 则 sinA=sinB ； 若sinA=sinB，则A=B ；,互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
2、逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。,即 原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。,若A=B ，则 sinA=sinB ； 若AB ，则sinAsinB ；,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？,原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”,否命题:若p,则q,互否命题 原命题 (原命题的)否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,若A=B ，则
3、sinA=sinB ； 若sinAsinB，则AB ；,原命题: 若p, 则q,逆否命题: 若q, 则p,互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。,、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。,、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。,、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命
4、题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。,三个概念,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角 否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 逆否命题:若两个角不相等，则这两个角不是对顶角,例1.写出命题“对顶角相等”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四个命题的真假。,解：原命题可以写成“若两个角是对顶角，则这两个角相等”,注：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假。,互为逆否的命题
5、是等价的,假,假,真,分析：关键是找出原命题的条件和结论,例2.设原命题是“若a=0,则ab=0” （1）写出它的逆命题，否命题及逆否命题 （2）判断这四个命题是真命题还是假命题,解： 逆命题：若ab=0，则a=0 否命题：若a0 ，则ab 0 逆否命题:若ab 0 ，则a 0,注：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假。,互为逆否的命题是等价的,假,假,真,四种命题之间的相互关系：,互逆,互逆,互 否,互 否,互 为 逆 否,互 为 逆 否,例3 设原命题是“当c 0 时，若a b ，则ac bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：,解： 逆命题：当c 0 时，若
6、ac bc ，则a b 逆命题为真,否命题：当c 0 时，若a b ，则ac bc 否命题为真,逆否命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆否命题为真,注：若命题中含有大前提，则在改写为“若p，则q”的形式时，大前提保持不变，不要写到条件中。,注：1原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假， 2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系,例3 设原命题是“若x0且y0,则x+y0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：,逆命题：若x+y0，则x0且y0 假,逆命题: x0或y0则x+y0, 假,逆否命题：若x+y0,则x0或y0 真,否命题与命题的否定,否命题
7、是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 否命题: 若p , 则q 。 命题的否定: 若 p ，则q 。,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x， 不成立,存在某x， 成立,1、四种命题之间的 关系,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命题 若p则q,逆否命题 若q则p,互逆,互否,互否,互逆,互为 逆否,四种命题的真假,有且只有下面四种情况:,所以,证明原命
8、题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真.,为什么?,否命题与命题的否定,否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若p , 则q 。 命题的否定: 若 p ，则q 。,例 设原命题是“当c 0 时，若a b ，则ac bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：,解： 逆命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆命题为真,否命题：当c 0 时，若a b ，则ac bc 否命题为真,逆否命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆否命题为真,练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（1）若q1,则方程 有实根。 （2）若ab=0,则a=0或b=0.,
