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1、一元二次方程讲义考点一、概念(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式:注:当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式(3)四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理如果能整理为的形式,则这个方程就为一元二次方程 (4)将方程化为一般形式:时,应满足(a0)(4)难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:该项系数不为“0”;未知数指数为“2”;若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型
2、例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A B C D 变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。考点二、方程的解概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题:例1、已知的值为2,则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为 。说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为 。说明:本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知是方程的两个根,是方程的两个
3、根,则m的值为 。例5、已知,求 变式:若,则的值为 。6、方程的一个根为( )A B 1 C D 7、若 。考点三、方程解法(1)基本思想方法:解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。(2)方法:直接开方法;因式分解法;配方法;公式法类型一、直接开方法: 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 对于,等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程: (2) (4) (5)例2、解关于x的方程:3. 下列方程无解的是( )A. B. C. D.类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的
4、平方4.方程左边成为一个完全平方式: 在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明的值恒大于0,的值恒小于0。例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。变式:若,则t的最大值为 ,最小值为 。例3、已知为实数,求的值。变式1:已知,则 .变式2:如果,那么的值为 。例4、分解因式:类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特点:左边可以分解为两
5、个一次因式的积,右边为“0”,方程形式:如, ,分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习:例1、的根为( )A B C D 例2. (1)(平方差) (2) (提公因式) (3)(平方差) (4) (完全平方式) (5) (完全平方式) (6)(十字相乘法) (7)(十字相乘法) (8)(提公因式)例3、若,则4x+y的值为 。例4、方程的解为( )A. B. C. D.例5、解方程: 例6、已知,则的值为 。变式:已知,且,则的值为 。例7、解下列方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) -= x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2
6、 +x+1)(x2 +x + 12)=42 类型四、公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。 条件:公式: ,典型例题:例1、选择适当方法解下列方程: 说明:解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法;一般不选择配方法。类型五、 “降次思想”的应用主要内容:求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题:例1、已知,求代数式的值。例2、如果,那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。说明:在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题:能对已知式进行灵活的
7、变形;能利用已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂,最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:先消元,再降次;先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系前提:对于而言,当满足、时,才能用韦达定理。主要内容:应用:整体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三角形的斜边是( ) A. B.3 C.6 D.说明:要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组:说明:一些含有、的二元二次
8、方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。例4、当取何值时,方程的根与均为有理数?例5、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?例6、已知,求 变式:若,则的值为 。例7、已知是方程的两个根,那么 .测试
9、题目: 一、选择题1解方程:3x2+27=0得( ).(A)x=3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2二、填空3方程9x2=25的根是_. 4.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=_,另一个根是_.5.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为_.6.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=_.三、用适当的方法解
10、下列关于x和y的方程(x+2)(x-2)=1. (3x-4)2=(4x-3)2 3x2-4x-4=0. x2+x-1=0.x2+2x-1=0. (2y+1)2+3(2y+1)+2=0. 8用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.(A) 因式分解法 (B)配方法 (C)公式法9解关于x的方程:x2-2x+1-k(x2-1)=010已知|2m-3|=1,试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(x-1)=x211、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:(1)
11、当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?12、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少?解决党委自身和基层党支部存在的的突出问题,发挥各村、社区、机关单位党支部在当前城市征迁、园区建设、招商引资、服务群众、维护稳定的作用,我镇党委高度重视,制定了切合临淮实际的活动实施方案,按照中央规定的活动步骤和要求扎实有效的开展了基层组织建设年活动。