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1、数字信号处理II实验报告数字信号处理II实验报告实验题目：维纳滤波器的计算机实现姓名： 学号：班级：专业： 一、实验目的1利用计算机编程实现加性噪声信号的维纳滤波。2将计算机模拟实验结果与理论分析结果相比较，分析影响维纳滤波效果的各种因素，从而加深对维纳滤波的理解。3利用维纳一步纯预测方法实现对信号生成模型的参数估计。二、实验原理维纳滤波是一种从噪声背景中提取信号的最佳线性滤波方法，假定一个随机信号x(n)具有以下形式： 1-1其中，s(n)为有用信号，v(n)为噪声干扰，将其输入一个单位脉冲响应为h(n)的线性系统，其输出为 1-2我们希望x(n)通过这个系统后得到的y(n)尽可能接近于s(
2、n)，因此，称y(n)为信号s(n)的估值。按照最小均方误差准则，h(n)应满足下面的正则方程： 1-3这就是著名的维纳霍夫方程，其中是 是x(n)的自相关函数，是 x(n)和s(n)是的互相关函数。在要求 h(n)满足因果性的条件下，求解维纳-霍夫方程是一个典型的难题。虽然目前有几种求解 h(n)的解析方法，但它们在计算机上实现起来非常困难。因此，本实验中，利用近似方法，即最佳 FIR 维纳滤波方法，在计算机上实现随机信号的维纳滤波。设 h(n)为一因果序列，其长度为 N，则 1-4同样利用最小均方误差准则，h(n)满足下面方程： 1-5其中 当为满秩矩阵时, 1-6由此可见，利用有限长的
3、h(n)实现维纳滤波器，只要已知和 ,就可以按上式解得满足因果性的 h。只要 N 选择的足够大，它就可以很好地逼近理想无限长的维纳滤波器。这一点我们可以在下面实验中得到证实。考虑维纳一步纯预测问题，假定s(n)的生成模型为 1-7其中 w(n)是均值为零，方差等于 的高斯白噪声。在已知准确自相关函数的情况下，由下面 Yule-Walker 方程可以得到信号生成模型参数和。 1-8其中为的自相关矩阵，A 为的系数列向量，定义为其中为的单位列向量，除第一个元素等于 1 外，其余元素均为零，即三、实验内容和步骤：3.1、实验流程图开始输入样本个数L,FIR滤波器阶数N产生L个v(n),w(n),s(
4、n)和x(n)，利用L个s(n)和x(n)，估计RSS和rxsN检验产生序列x(n的自相关和互相关函数是否与理论值相符NY在同一坐标内绘出x(n)自相关函数的理论值和实际值Y在同一坐标内绘出最后100个s(n)和x(n)。调矩阵求逆子程序计算,将N个理想的h(n)和估计的h(n) 绘于同一坐标内进行理想的维纳滤波得L个SI (n),和最后100个s(n)绘制于同一坐标 对x(n)进行过滤得L个SR(n)，和最后100个s(n)和绘于同一坐标内L个x(n),s(n), SI (n), SR(n),统计ex2,eI2,eR2结束3.2、 运行维纳滤波器程序（见附录程序1），N=10,L=5000，
5、观察并记录实验结果：1) 与s(n)相比，信号x(n)在维纳滤波前后效果比较：图1 未经维纳滤波的x(n)与最后100个s(n)比较图图2 维纳滤波后的s(n)与最后100个s(n)比较图分析：显然与s(n)相比，x(n)在维纳滤波前与s(n)相差很大，维纳滤波后较接近s(n),可见滤波效果比较好。2) 估计(n)与理想h(n)的比较：图3 为估计(n)与理想h(n)的对比图分析：由图可见，二者近似程度除最后几个点外，其他近似度还是满高的，总体而言，近似效果不错。3) 理想的维纳滤波与FIR维纳滤波效果对比：图4 理想维纳滤波效果 图5 FIR维纳滤波效果分析：直接从图形观察，差异太小，无法观
6、察其精度。只能通过最小均方差来比较其差异，结果为：理想维纳滤波ei= 0.2287,FIR维纳滤波ef=0.2254。可见，理想维纳滤波效果要好过FIR维纳滤波。4) 自相关与互相关数据判断对效果的影响分析：若去掉流程图中自相关与互相关数据判断步骤，可能会得到理想维纳滤波不如FIR滤波的效果，这里的判断步骤就是为了检测实际产生序列的自相关或互相关特性与理论值的近似程度，若误差很小且通过我们设定的某一下限则认为二者近似，所以最终的滤波效果才很近似。如果没有这里的判断，实际自相关或互相关则是任意的，完全有可能出现比理想维纳滤波更好的效果。3.3、固定L=5000,分别取N=3、20，根据实验结果，
7、观察N的大小对(n)的估计和滤波效果的影响并记录实验结果。实验结果：N=3：图6 N=3时估计(n)与理想h(n)的对比图图7 为N=3的未滤波后所得想x(n)与实际S(n)后100位的比较图图8 为N=3的FIR滤波后所得(n)与实际S(n)后100位的比较图e_x = 1.0056 e_i =0.3245 e_f =0.2851N=20：图9为N=20时估计(n)与理想h(n)的对比图图10为N=20的未滤波x(n)与实际S(n)后100位的比较图图11为N=20的FIR滤波后所得想x(n)与实际S(n)后100位的比较图e_x = 1.0168 e_i =0.2444 e_f = 0.2
8、427分析：从最终均方误差的比较可知，N越大，滤波效果越好3.4、固定N=10,改变L=10000、50000，根据实验结果，观察并记录L的大小对(n)的精度和滤波效果的影响。实验结果：L=10000:图12 L=10000时估计(n)与理想h(n)的对比图图13 L=10000未滤波x(n)与实际S(n)后100位的比较图图14 L=10000的FIR滤波后所得(n)与实际S(n)后100位的比较图e_x =0.9950 e_i =0.2361 e_f =0.2351L=50000:图15 L=50000时估计(n)与理想h(n)的对比图图16 L=50000未滤波x(n)与实际S(n)后1
9、00位的比较图图17 L=50000的FIR滤波后所得(n)与实际S(n)后100位的比较图e_x = 1.0168 e_i = 0.2444 e_f =0.2427分析：L越大(n)与h(n)越接近，(n)的精度越高。由均方误差可知，L越大，滤波效果越高。这也容易理解，样本越大，精度自然越高。3.5、 维纳一步纯预测 画出信号生成模型参数估计的流程图开始输入信号生产模型的阶数p, AR模型的参数ai(i=1,2p),w2,信号s(n)的样本数L利用randn函数产生L个w(n),并产生L个s(n)利用Yule-Walker 方程，求出 1. p结束运行信号生成模型程序（附录二），选择p=1,
10、a1=-0.6,L=100.其中理论值： w2=1-a12=0.6400 a1=-0.6实验结果：L=100estimate_a1 = -0.5884 estimate_sigma =0.9839 error_a1 = -0.0193 error_sigma =-0.0161L=50estimate_a1 = -0.5742 estimate_sigma =0.9703 error_a1 =-0.0430 error_sigma =-0.0297L=500estimate_a1 = -0.5966 estimate_sigma =0.9968 error_a1 =-0.0056 error_s
11、igma =-0.0032分析：显然样本个数L的增大，使得信号模型参数精度明显提高。四、实验总结： 1、样本个数越大，参数精度越高。2、影响维纳滤波效果的因素包括样本个数L、FIR滤波阶数，且均成正比关系，L越大或者FIR滤波器的阶数越大则维纳滤波的效果越好。3、维纳一步纯预测，只要调整ai(1,2p)即可实现最小均方误差，样本个数L的增大，信号模型参数精度明显提高。五、思考题5.2根据Yule-Walker方程有其中为(p+1)*(p+1)的s(n)自相关矩阵,A为（p+1）*1的系数列向量及A=,而，由给出的理论，解方程即可得到估计值；用估计值代入方程即可得到估计值。六、实验一题：已知：1
12、）画出信号生成模型和相应的wiener滤波器框图解：根据提议，信号生成模型和wiener滤波器框图如下：左边是随机信号生成模型，右边是wiener滤波器的传递函数H(Z)2）。求因果wiener滤波器的传递函数H(z)。解：3）求的值。解：附录：程序1：% 根据实验要求变动a = 0.95;K = 50;sigma_a2 = 1-a2; a_ = 1, -a;L=input(请输入信号样本个数L=);N=input(请输入FIR滤波器的阶数N=);while(1)wn = sqrt(sigma_a2)*( randn(L,1);sn = filter(1, a_, wn);vn = randn
13、(L,1);xn = sn + vn;r_xx = xcorr(xn,unbiased);r_xx_t = a.abs(-K:K);r_xx_t(K+1)=r_xx_t(K+1)+1; p = xcorr(sn,xn,unbiased); r_xs = p(L : L+K); rou_xx = sum(r_xx(L-K:L+K)-r_xx_t).2)/sum(r_xx_t.2); rou_xs = sum(r_xs-a.0:K).2)/sum(a.0:K.2);if rou_xx 0.03 & rou_xs 0.01 break;endend% 这样即可得一个符合要求的x(n)序列%同一坐标绘制x(n)自相关函数理论值与实际值figure(1),clf%subplot(121)stem(r_xx(L-K:L+K),r)hold onstem(r_xx_t,b)title(x(n)自相关函数的理论值（蓝色）和实际值（红色）)%同一坐标
