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1、矩 阵 论,怀丽波,目 录,第一章 线性空间与内积空间（4学时） 第二章 线性映射与线性变换（4学时） 第三章l矩阵与矩阵的Jordan标准形（6学时） 第四章 矩阵的因子分解（8学时） 第五章Hermite矩阵与正定矩阵（4学时） 第六章范数与极限（6学时）,教学目的：,理解线性空间和内积空间的概念 掌握子空间与维数定理 了解线性空间和内积空间同构的含义 掌握正交基及子空间的正交关系 掌握Gram-Schmidt正交化方法,线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。 线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算
2、可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。,例4 次数不超过 的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间,例3 闭区间 上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间,例2 所有 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间 。,例1 所有 n维实（复）向量按向量的加法和数乘，构成线性空间Rn(Cn) 。,例5 集合 不是 一个线性空间。因为加法不封闭。,例6 线性非齐次方程组 的解集,不构成线性空间，这里 是对应齐次方程组 的一个基础解系， 为 的一个特解。,向量的线性相关性： 线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关
3、、秩等定义和结论都可以推广到一般线性空间。,证明：取k1 ，k2 ，k3R， 令 k11+k22+k33 则有k1-k2=0, k2 +k3=0 该方程组有非零解，所以1,2,3线性相关.,证明： 取1= 2= 3= 则1,2,3线性无关. 对线性空间V中的任一向量可表示成 A= =a11 1 +a12 2 +a22 3 即A可由1,2,3线性表出。所以 Dim（V）=3,注:,（1）若把线性空间 看作无穷个向量组成的向量组，那么 的基就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的秩.,（2）个数与线性空间 的维数相等的线性无关组都是 的基.,例1.3.1 线性空间 是实数域 上的二维空间，其基
4、可取为 ，即C中任一复数k=a+bi（a,bR）都有a+bi=(1,i)( ),所以(a,b) T即为k的坐标。,a b,例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R xn中的向量组 1，x， x2 , xn-1 是 基底， R xn的维数为 n。,例1.3.3 实数域 R上的线性空间 的维数为 nn，标准基为Eij：（i=1,2n;j=1,2n） 第i行第j列的元素为1，其它的都为0。,例1.3.4 在线性空间 中，显然 是 的一组基，此时多项式 在这组基下的坐标就是,证明 也是 的基,并求 及 在此基下的坐标。,由题， 在基 下的坐标为,而且，基 到基 的过渡矩阵为,所以,例1.3.5 已知矩
5、阵空间 的两组基：,求基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵。,解,引入 的标准基：,显然,类似地，,则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为,而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为,所以,从而,因此基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为,注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。,N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；,例1.4.1 对于任意一个有限维线性空间 V ，它必有两个平凡的子空间，即由
6、单个零向量构成的子空间0和V本身。,例1.4.2 实数域 R上的线性空间 中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间。,例1.4.3 设ARmn，记A=a1,a2,an,其中aiRm，则k1a1+k2a2+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间（或值域）,记为R(A)或Im(A)。 即R(A)=y|y=Ax,xRn,注：判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，则很方便.,下面考虑两个子空间的运算：,注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V的子空间；,例1.4.4 设
7、 是线性空间 的子空间，且 则,证明 由子空间和的定义，有 V1+V2=span(1,2s)+span(1, 2t) =(k11+k22+kss)+(l11+l2 2+ ltt)| ki,lj P =span(1,2s,1, 2t),例1.4.5,设,求 的基与维数。,所以可令,设 ，则,因此,所以 的基为 ，维数为,解,解关于 的齐次方程组，得,由例1.4.4,由前得,即,然而 线性无关，这样 是 的极大无关组，所以它也是 的基，故,定理1.4.7（维数公式） 设 是数域 P 上线性空间 的两个有限维子空间，则它们的交 与和都是有限维的，并且,注意到例 1.4.5 中,这并不是偶然的。,在维
8、数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？,例1.4.6 设 分别是 阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明 均为线性空间 的子空间。试证明,证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即,又 根据定理1.4.9可知结论成立。,这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个数域P上的线性空间都与n维向量空间Pn同构。因此n维向量空间Pn中的一些结论在任意线性空间也成立。,定义1.6.2 设V为内积空间，V中向量的长度或范数定义为 ,长度为
9、1的向量称为单位向量 注：如果 0，则 是单位向量。,(A B)H=BH AH; 如果A可逆:则( AH ) -1=( A-1 ) H,内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来。,例1.6.1 运用正交化与单位化过程将向量组 化为标准正交向量组。 解：先正交化,再单位化,那么 即为所求的标准正交向量组。,注：以上正交化方法的结果与向量的次序有关。,其解空间的一个标准正交基底。 解： 先求出其一个基础解系 下面对 进行正交化与单位化：,例1.6.2 求下面齐次线性方程组,即为其解空间的一个标准正
10、交基底。,正交性的应用主要是通过正交投影来实现的。无论是微分方程数值解中的有限元方法等谱方法及其大量应用，还是最优化理论（主要是极值问题）及其在控制、通信、雷达、时间序列分析、信号处理等诸多学科中的应用，都与正交投影有密切联系。一言以蔽之，这是人类试图简单化现实世界的一种思维方式。,作业:P41: 6(5),11,15,19(1),24,27(1),总 结 本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。,“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。,几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。,“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。,
