《（浙江专用）2018年高考数学总复习 第十章 计数原理、概率 第2讲 排列与组合学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2018年高考数学总复习 第十章 计数原理、概率 第2讲 排列与组合学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲排列与组合最新考纲1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn).特别地C1性质(1)0！1
2、；An！(2)CC；CCC诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式CC，则xm成立.()(4)kCnC.()解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若CC，则xm或nm，故(3)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A24.答案B3.(选修23P28A17改编)从4名
3、男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.答案C4.(2017浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有_个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有_个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A720个；将1，3，5三个
4、数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有AA144个.答案7201445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_(用数字作答).解析末位数字排法有A，其他位置排法有A种，共有AA48种.答案486.(2017绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种.甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有C种方法.其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选
5、排方法是CC843549(种).答案49考点一排列问题【例1】 (2017河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6
6、个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.(3)法一(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.法二(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，符合要求的排法种数为A20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余
7、下6个位置中任选一个，有A种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种；其余人6个人进行全排列，有A种.共有AAA种.由分类加法计数原理，共有AAAA30 960(种).法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，因此共有AAAA30 960(种).法三(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种.因此共有A2AA30 960(种).规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进
8、行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】 (1)(2017新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480(2)(2017抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有()A.30 B.600 C.720 D.84
9、0解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3456360种方法.(2)若只有甲乙其中一人参加，有CCA480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA240种方法，则共有480240720种方法，故选C.答案(1)C(2)C考点二组合问题【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取
10、法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100种.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555种.至少有2种假货在内的不同的取法有2 5
11、55种.(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式CC6 5454556 090种.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 (1)(2017邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球
12、，则至少有两个黑球的取法种数是()A.90 B.115 C.210 D.385(2)(2017湖州市质检)若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种 B.63种 C.65种 D.66种解析(1)分三类，取2个黑球有CC90种，取3个黑球有CC24种，取4个黑球有C1种，故共有90241115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种).答案(1)B(2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒
13、内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确
14、定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法.故共有C(CCAA)84(种).规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()A.AC B.ACC.AA D.2A(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析(1)法一将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).所以不同的安排方法有CA(种).法二先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCCAC(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一
