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1、分块矩阵零化方法及应用 摘要：分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵。分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力。把矩阵的初等换的思想和方法应用于分块矩阵，据此给出了利用分块矩阵初等变换将矩阵的某些分块零化的办法及其在证明某些矩阵恒等式方面的应用。关键字：分块矩阵；初等变换；零化；分块初等矩阵Abstract：In the paper，based on the importance of the method of partitioned matrix and its application in linear alg
2、ebra，we apply the thought and method of elementary transformation of matrix to partitioned matrixAnd under this method。we reveal some approaches of partitioned matrixg zeroblock transformation and its application in proving some equation of matrix 高等代数中，矩阵的分块的方法对矩阵证明来说是一种很好的方法，利用分块的方法证明矩阵，矩阵是一种新的运算对
3、象，我们应该充分主义矩阵运算的一些特殊规律，为了研究问题的需要适当地对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是有一些小矩阵块为元素组成的，这样矩阵的结构看的更清楚，矩阵分块的思想在线性代数的证明，应用也是十分有用的矩阵分块的思想可使解题更简洁思路更开阔。分块矩阵的初等变换是线性代数中重要而基本的变换，它在研究求分块矩阵的逆、分块矩阵的特征多项式、分块矩阵的行列式及分块矩阵的秩中有着广泛的应用。文中讨论了把矩阵的初等变换的思想和方法应用于分块矩阵，并给出了利用分块矩阵初等变换将矩阵的某些分块零化的办法及其在证明某些恒等式方面的应用。分块矩阵的严格定义： 把一个矩阵，在行的方向分成块，在列的方向分成块，称
4、为的分块矩阵，记作，其中称为的子块，它们是各种类型的矩阵。即： 其中是一个矩阵。从而有，。在矩阵的运算中，有一种很常见的技巧，即把矩阵进行分块，然后，以“块”当“元素”进行计算，这就是通常所谓的“分块矩阵”运算。这样做的目的，一为计算方便；二为显示出矩阵中某些部分的特性。比如，设，将在行的方向分成2块，在列的方向分成2块如下：其中：，容易看出，都是一些特殊的矩阵，这可以给矩阵计算带来很大的方便。 分块矩阵的一些运算分块矩阵的加法：设分块矩阵，如果与对应的子块和都是同型矩阵，则注 用分块加法求得的与不分块作加法求得的相等。分块矩阵的数量乘法设分块矩阵是一个数，则注 用分块数乘求得的与不分块作数乘
5、求得的相等分块矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵，如果分块成分块矩阵，分块成分块矩阵，且的列的分块法和的行的分块法完全相同，则其中是分块矩阵，且。注 用分块乘法求得的与不分块作乘法求得的相等分块矩阵的转置设分块矩阵，则，即：注 用分块转置求得的与不分块作转置求得的相等 可逆分块矩阵的逆矩阵只介绍几种可逆分块矩阵的逆矩阵(1) 准对角块矩阵：可逆的充分必要条件是可逆，并且。(2) 准上三角矩阵：可逆的充分必要条件是可逆。(3) 准下三角矩阵：可逆的充分必要条件是可逆。(4) 设 是 阶可逆矩阵， 是 阶可逆矩阵， 是 矩阵， 是 矩阵，则： 分块矩阵是可逆矩阵，且。 分块矩阵是可逆矩阵，且。 分块矩阵是
6、可逆矩阵，且。 分块矩阵是可逆矩阵，且。分块矩阵是一个矩阵， 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。 如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上，就称为对角分块矩阵。矩阵做一次初等变换，相当于对这个矩阵左乘右一个对应的初等矩阵。因此，对矩阵左乘或右乘适当的初等矩阵，可以将矩阵的某些元素零化 同样 ，对于个分块矩阵也可以通过左乘或右乘适当的矩阵，实现和矩阵初等变换类似的变换 分块矩阵的行（列）初等变换指的是对一个分块矩阵施行的下列三种变换： (1).交换分块矩阵的两行（列）块；(2).用一个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）块，即用一个可逆矩阵左（右）乘分
7、块矩阵的某一行（列）块的每一个子块；(3).用某一个矩阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）块后加到另一行（列）块， 即用一个矩阵左（右） 乘分块矩阵的某一行（列）块的每一个子块后加到另一行（列）块的对应子块上。分块矩阵的行初等变换和列初等变换统称为分块矩阵的初等变换。2. 对分块单位矩阵作一次初等变换所得的分块矩阵称为分块初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵：(1). 交换分块单位矩阵的第行（或列）块得到的分块初等矩阵：(2). 用可逆矩阵左（右）乘分块单位矩阵的第行（或列）块得到的分块初等阵：（3）. 用矩阵左乘分块单位矩阵的第行块加到第行块上（或用矩阵右乘分块单位矩阵的第列块加到第列块上
8、）得到的分块初等阵：2. 设是一个分块矩阵，对分块矩阵施行一次分块初等行变换相当于在分块矩阵的左边乘以一个相应的分块初等矩阵；对分块矩阵施行一次分块初等列变换相当于在矩阵的右边乘以一个相应的分块初等矩阵。定义2 对m+n 阶单位矩阵作22分块，即，对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。引理1 对分块矩阵做一次分块初等行变换，相当于在这个矩阵左边乘以一个对应的分块初等矩阵；做一 次分块初等列变换相当于在这个矩阵右边乘以一个对应的分块初等矩阵。这里所说的对应的分块初等矩阵是指变换方式一致且分块方式能保障乘法右意义的分块初等矩阵。主要结论定理1 M为n阶方阵，其中A,D为r和n-r阶方阵
9、，可通过分块初等行变换将B,C零化，化M为准上（下）三角形矩阵。(1)，(当A可逆时)。(2) ，（当A可逆时）。(3) ，（当D可逆时）。(4) ，(当D可逆时)。可进一步化为准对角行：(5) ，（当A可逆时）。(6) ,(当D可逆时)。证明：可直接按分块矩阵的乘法得到定理2若矩阵A,D为r和n-r阶方阵，且A可逆，则当矩阵可逆时，有证明：由于A可逆，对做“广义列变换”，可使右上角的矩阵块零化，只须右乘一个相应的分块初等矩阵，即，再对做“广义行变换”，可使左下角的矩阵块零化，左乘一个相应的分块初等矩阵，即 因此，完全类似的，可得定理3 若矩阵A,D为r 和n-r阶方阵，若A可逆，则有.若D可
10、逆，则有证明：直接由定理1和定理2的结论，两边求逆，再取行列式即得。推论2 若A与D是同解方阵，则A可逆时，=；D可逆时，。 证明：A与D是同阶方阵，则A可逆时，由推论1，有另一方面。同样地，可证明D可逆的情况。这样我们就可以得， 若A与D是同阶方阵，则；（1）A可逆且AC=CA时，（2）A可逆且AB=BA时，；（3）D可逆且DC=CD时，;(4)D可逆且DB=BD时，。应用实例例1 已知：A,B,C,D是n阶方阵，A，D可逆，也可逆，求证：证明:由定理2和定理3，有,比较两式右边矩阵的右下角元素，可知.例2 设A,B为任意矩阵，求证：.证明：当时，结论显然成立，当根据结论1，有,根据推论2，
11、有。即得。参数 献 ： 1北京大学数学系高等代数M北京：高等教育出版社，21133181187 2张禾瑞，郝铺新高等代数M北京：高等教育出版社，19J7154161 3彭白玉李元日黄灿欧氏空间中线 变换的注记J衡阳师范学院学报(自然科学版),2008 (6)：56 5秦小二 分块矩阵的几种用法J，数学教学 与研究，2037，(41)：68一 9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2z
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