《（江西版）高考数学总复习 第二章. 定积分与微积分基本定理教案 理 北师大版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江西版）高考数学总复习 第二章. 定积分与微积分基本定理教案 理 北师大版.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.16定积分与微积分基本定理考纲要求1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义知识梳理1定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式_，当n时，上述和式无限接近_，这个_叫作函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即_.(2)在中，_分别叫作积分下限与积分上限，区间_叫作积分区间，_叫作被积函数，_叫作积分变量，_叫作被积式2定积分的性质(1)_(k为常
2、数)；(2)_；(3)_(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有_.这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式其中F(x)叫作f(x)的一个原函数在计算定积分时，常常用记号_来表示F(b)F(a)，即F(b)F(a)4定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)(2)当函数f(x)在区间a，b上恒为负时，定积分的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的负值(3)一
3、般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数5平面图形的面积一般地，设由曲线yf(x)，yg(x)以及直线xa，xb所围成的平面图形的面积(丙图中的阴影部分)为S，则S_.丙6简单几何体的体积设由曲线yf(x)，直线xa，xb(ab)以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V_.基础自测1()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 22下列值等于1的积分是()A BC D3函数F(x)在1,5上()A有最大值0，
4、无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值4如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1 B C D25根据定积分的几何意义计算定积分：_.6用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm，此时用的力是200 N，变力F做的功W为_J.思维拓展1若积分变量为t，则与是否相等？提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有
5、利于计算3定积分的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积一、利用微积分基本定理计算定积分【例1】计算下列定积分：(1)；(2)方法提炼计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值请做针对训练3二、利用定积分的几何意义求定积分【例2】求定积分方法提炼当利用积分的定义或利用微积分基本定理来求某一定积分不易进行时，可以根据定
6、积分的几何意义来计算其关键是将被积函数的图像在坐标中画出来，再根据积分区间确定图形的范围和大小，利用相关面积公式求出面积，即得定积分的值请做针对训练2三、定积分在物理中的应用【例3】列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？方法提炼1作变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体作变速直线运动的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)
7、0)在时间区间a，b上的定积分另外物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数aa(t)在时间区间a，b上的定积分.2如果力F(x)使得物体沿力的方向由xa运动到xb(ab)，则力F(x)对物体所做的功W.请做针对训练4四、定积分的综合应用【例41】如图所示，已知曲线C1：yx2与曲线C2：yx22ax(a1)交于点O，A，直线xt(0t1)与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连接OD，DA，AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式Sf(t)；(2)求函数Sf(t)在区间(0,1上的最大值【例42】如图所示，抛物线y4x2与直线y3x的两交点为A，B，点P在抛物线上
8、从A向B运动(1)求使PAB的面积最大时P点的坐标(a，b)；(2)在(1)的条件下，证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积相等的两部分方法提炼1由函数图像或解析几何中曲线围成的曲线图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要分不同情况讨论解决2对于定积分与函数、方程、不等式等问题的综合题，求解时，除用好定积分的知识外，还要适时地用好涉及到的知识及处理相关问题的规律方法请做针对训练1考情分析微积分基本定理是高中数学的新增内容通过分析近几年的高考试题，可以看到对它考查的频率较低，且均是以客观题的形式出现的，难度较
9、小，着重于基础知识、基本方法的考查针对训练1(2011湖南高考，理6)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A B1 C D2计算：_.3(2012江西泰和中学月考)_.4一物体受到与它运动方向相反的力F(x)exx的作用，则它从x0运动到x1时F(x)所做的功等于_参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)(i)xf(i)某个常数常数f(i)(2)a与ba，b函数f(x)xf(x)dx2(1)kf(x)dx(2)f(x)dxg(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx3F(b)F(a)5f(x)dxg(x)dx6f2(x)dx基础自测1D解析：dxln 4ln 2ln 2.
10、2C解析：C中1dx101.3B解析：F(x)t(t4)dt(t24t)dtx32x2，函数F(x)的极值点为x0，x4，F(1)，F(0)0，F(4)，F(5)，故F(x)在1,5上有最大值0，最小值.4B解析：由得x10，x22.S(x22x11)dx(x22x)dx4.51解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数y|x2|的图像、直线x1，x3和x轴所围成的图形的面积，故S|x2|dx11111.610解析：设Ff(x)kx，F200 N时，x10 cm0.1 m，k2 000.则变力Ff(x)2 000x，W2 000xdx10(J)考点探究突破【例1】解：(1)(3x22x1
11、)dx(x3x2x)24.(2)dxxdxdxdxln x(1)(ln eln 1).【例2】解：设y，则x2y21(y0)，dx表示由曲线y在0,1上的一段与坐标轴所围成的面积，即圆在第一象限内的面积，dx.【例3】解：因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程已知列车速度v072 km/h20 m/s，列车制动时获得的加速度为a0.4 m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则vv0adt2000.4dt200.4t，令v0，得t50(s)设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则svdt(200.4t)dt500(m)
12、，所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动【例41】解：(1)由解得或O(0,0)，A(a，a2)又由已知得B(t，t22at)，D(t，t2)，S(x22ax)dxtt2(t22att2)(at)t3(t2at)(at)t3at2t3t32at2a2tt3at2a2t.Sf(t)t3at2a2t(0t1)(2)f(t)t22ata2，令f(t)0，即t22ata20.解得t(2)a或t(2)a.0t1，a1，t(2)a应舍去当(2)a1，即a时，0t1，f(t)0.f(t)在区间(0,1上单调递增，S的最大值是f(1)a2a.若(2)a1，即1a时，当0t(2)a时，f(t)0.当(2)at1时，f(t)0.f(t)在区间(0，(2)a上单调递增，在区间(2)a,1上单调递减f(t)的最大值是f(2)a)(2)a3a(2)a2a2(2)aa3.综上所述f(t)max【例42】解：(1)解方程组得x11，x24.抛物线y4x2与直线y3x的交点为A(1,3)，B(4，12)，P点的横坐标a(4,1)，点P(a，b)到直线y3x的距离为d，P点在抛物线上，b4a2，d(43aa2)，令da(43aa2)(2a3)0，a，即当a时，d最大，这时b4，P点的坐标为时，PAB的面积最大(2)设上述抛物线与直线所围成的面积为S，
