《2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：1.2.1-2 极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：1.2.1-2 极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、21极坐标系的概念22点的极坐标与直角坐标的互化一、极坐标系的概念1极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系2极坐标的概念对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序实数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，) 特别地，当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值为研究方便，当0时，点M(，)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使xOP，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|，这样点M的
2、坐标就是(，)3点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的二、点的极坐标和直角坐标的互化1互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示2互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2
3、y2tan(x0)在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角 1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)当R，R时，平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的()(2)在极坐标系中A1，B1，是同一点()(3)点2，与点2，关于极轴对称()(4)点2，化成直角坐标为(，)()答案(1)平面上的点的极坐标有无数个如2，与2，表示同一点(2)(3)点2，与点2，关于极点对称(4) 2做一做(1)点M的直角坐标为0，则点M的极坐标可以为()A，0 B0，C， D，答案C解析，且，点M的极坐标可以为，(2)在极坐标系中与点P2，表示同一点的是()A2， B2，C2， D2，答案C解析
4、在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确(3)已知A，B两点的极坐标分别为6，和8，则线段AB的中点的直角坐标为()答案，解析把A，B两点的极坐标化为直角坐标分别是(3，3)，(4，4)由直角坐标系的中点坐标公式得，线段AB的中点的直角坐标为，(4)若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，点A的极坐标是4，则它的直角坐标为_答案(2，2)解析因为xcos4cos2，ysin4sin2，所以它的直角坐标为(2，2)(5)在极坐标系中A2，B6，则OA，OB的夹角为_答案解析OA与OB的夹角AOB探究极坐标的概念 例1(1)已知点A的极坐标是6，分别在下列给定条件下，画出点A关于极点O的
5、对称点A的位置，并写出A的极坐标：0，；0，02；0，20；(2)已知点Q(，)，求点Q关于直线的对称点P的极坐标解(1)如图所示，|OA|OA|6，xOA，xOA，即A与A关于极点O对称，由极坐标的定义知：当0，时，A点的坐标为6，；当0，02时，A点的坐标为6，；当0，20时，A点的坐标为6，(2)由P，Q关于直线对称，得它们的极径|OP|OQ|，点P的极角满足2k(kZ)，所以点P的坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)1点的极坐标的特点设点M的极坐标是(，)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(，)或(，)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(，)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
6、的极坐标是(，)或(，)2由极坐标确定点的位置的步骤(1)取定极点O；(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置【跟踪训练1】(1)在极坐标系中，画出点A1，B2，C3，；(2)在极坐标系中，点A的极坐标是3，求点A关于直线的对称点的极坐标(规定0，0，2)解(1)如图所示(2)作出图形，可知A关于直线的对称点是探究极坐标与直角坐标的互化例2(1)分别把下列点的极坐标化为直角坐标：；(，)(2)分别把下列点的直角坐标化为极坐标(规定0，0
7、2)：(0，0)；(1，1)；(2，2)解(1)xcos2cos，ysin2sin1点的极坐标化为直角坐标为(，1)xcos3cos0，ysin3sin3点的极坐标化为直角坐标为(0，3)xcoscos，ysinsin0，点的极坐标(，)化为直角坐标为(，0)(2)由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以规定0，00，00，02，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系3极坐标与直角坐标的互化事实上，任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带1在极坐标系中，下列与点M重合的点的极坐标是()A BC D答案D解析与点M重合的点的极坐标可表示为5
8、，2k(kZ)，故选D2点P关于极轴对称的点的极坐标不可能是()A BC D答案D解析点P关于极轴对称的点的极坐标为2，2k，kZ，故D不满足3点M(1，)(0，)的轨迹是()A射线 B直线 C圆 D半圆答案D解析因为点M(1，)满足|OM|1，0，所以点M的轨迹是以极点为圆心，半径为1的圆的上半部分，即半圆4点A的极坐标是，则点A的直角坐标为()A(1，) B(，1)C(，1) D(，1)答案C解析点A的极坐标是2，即2，所以x2cos，y2sin1，点A的直角坐标为(，1)5直线l过点A，B，则直线l与极轴的夹角等于_答案解析如图所示，先在图形中找到直线l与极轴的夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3，A
