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1、 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理)参考答案与评分标准 2018.4一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678答案CADBADDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。题号91011121314答案2 48 注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。15. （本题满分13分）（） 3分（） 因为函数的单调递增区间为（），令（），解得 （），故的单调递增区间为（）13分16. （本题满分13分）（）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平
2、均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用表示事件抽取的月份为第月，则 共12个基本事件， 共6个基本事件， 所以，.4分（）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故所有可能的取值为，. ， 随机变量的分布列为012（）的最大值为，最小值为.13分17.（本题满分14分）（）方法1：设的中点为，连接，. 由题意，因为 在中，为的中点所以 ， 因为 在中，所以 因为 ，平面 所以 平面因为 平面4分所以 平面平面方法2：设的中点为，连接，. 因为 在中，为的中点所以 ， 因为 ，所以 所以 所以 因为 ，平面 所以 平面因为 平面4分所
3、以 平面平面方法3：设的中点为，连接，因为在中， 所以 设的中点， 连接，及.因为 在中，为的中点所以 .因为 在中，为的中点所以 .因为 ，平面所以 平面因为 平面所以 因为 ，平面 所以 平面因为 平面4分所以 平面平面（）由平面，如图建立空间直角坐标系，则， 由平面，故平面的法向量为 由，设平面的法向量为，则由得：令，得，即 由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为9分（）设，则令得 即，是关于的单调递增函数， 当时，所以14分 18. （本题满分13分）（）当时， 故 令，得 故的单调递增区间为4分（）方法1： 令 则 由， 故存在， 故当时，；当时，极大值 故 故，解得13分 故的值
4、为.（）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在 ，使得， 等价于的最大值为.， 令，得.极大值故的最大值为，即.13分（19）（本小题14分）（）由题意， 解得：， 故椭圆的标准方程为5分（）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，1)，直线l的方程为，即. 联立方程，得， 此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.故直线TP和TQ的斜率存在.方法1：设，则直线，直线故， 由直线，设直线（）联立方程， 当时， 14分方法2：设，直线和的斜率分别为和 由，设直线（）联立方程， 当时， 故直线和直线的斜率和为零故故 故在线段的中垂线上，即的中点横坐
5、标为2故14分20.（本题满分13分）（）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”.3分（）假设和均是数表的“值”， 若，则； 若，则 ； 若，则一方面， 另一方面；矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的.8分（）方法1：对任意的由，组成的行列的数表.定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即（其中，）显然有： 数表是由，组成的行列的数表 数表的第行的元素，即为数表的第列的元素 数表的第列的元素，即为数表的第行的元素 若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即（
6、其中，）显然有 数表是由，组成的行列的数表 若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值特别地，对由，组成的行列的数表 数表是由，组成的行列的数表 若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.记，则，即数表与数表的“值”之和为，故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的 “值”之和为，故的数学期望.13分方法2：所有可能的取值为.记中使得的数表的个数记作，则. 则，则，故，.13分为提高统计人员的工作效率，专门为统计人员配备计算机，实行报账、学籍、学校国有固定资产联网，为确保数据的准确性，我们为统计人员配备U盘，对原始数据进行保存，减少和杜绝虚报、瞒报、漏报、错报等现象的发生。13
