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1、海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学（理） 2015.5 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，那么=（ ）（A）（B）（C）（D）（2）设，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）（4）已知命题，那么“为真命题”是“为真命题”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知函数（为常数）为奇函数，那么（ ）（A）（B）（C）（D）（6）已知函数的部分图
2、象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计的值约为（ ）（A）（B） （C） （D）（7）已知是定义域为的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是（ ）（A）5（B）4（C）3（D）2（8）若空间中有个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的值（ ）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5（D）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若等比数列满足，则公比_； （10）如图，在中，点在边上，且圆与相切于点，与圆相交于点，则= ，
3、= . （11）右图表示的是求首项为，公差为2的等差数列前项和的最小值的程序框图.处可填写_；处可填写 （12）若双曲线上存在四个点，使得四边形是正方形，则双曲线的离心率的取值范围是 . （13）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 .（用数字作答）（14）设关于的不等式组表示的平面区域为，已知点，点是上的动点. ，则的取值范围是 . 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）在中，. （）求的值；（）求证：. （16）（本小题满分13分）某中学为了
4、解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下： 男生投掷距离（单位：米）女生投掷距离（单位：米） 9 7 754 6 8 7 664 5 5 6 6 6 9 6 670 0 2 4 4 5 5 5 5 8 8 5 5 3 0 81 7 3 1 19 2 2 0 10已知该项目评分标准为：男生投掷距离（米）女生投掷距离（米）个人得分（分）45678910注：满分10分，且得9分以上(含9分)定为“优秀”（）求上述20名女生得分的中位数和众数；（）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数的分布列；（）根据以上样本数据和你所学的统计知
5、识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）（17）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥中， ， 是棱上一点.（）若，求证：平面；（）若平面平面，平面平面，求证：平面；（）在（）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值. （18）（本小题满分14分）已知函数. （）求函数的零点及单调区间；（）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标.（19）（本小题满分13分）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点.（）求圆和椭圆的方程；（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点
6、，.求证：为定值.（20）（本小题满分14分）对于数列，经过变换交换中某相邻两段的位置（数列中的一项或连续的几项称为一段），得到数列.例如，数列（，）经交换两段位置，变换为数列.设是有穷数列，令.（）如果数列为，且为. 写出数列；（写出一个即可）（）如果数列为，为，为，为.写出数列；（写出一组即可）（）如果数列为等差数列：，为等差数列：，求的最小值.海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理）答案及评分参考 2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）D （4）A （5）B （6）A （7）C （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题
7、，第一空2分，第二空3分）（9）2， （10）， （11） ， （12） （13）14 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（）因为 ，所以 . 3分因为 ，所以 .解得：，或（舍）. 6分（）由（）可得：. 所以 . 9分 因为 ，所以 . 11分 所以. 12分 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 13分另解：因为 ， 所以 . 由正弦定理得：. 所以 . 所以 . 12分 因为 ， 所以 ，. 所以. 13分（16）（共13分）解：（）20名女生掷实心球得分如下： 5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10所以中位
8、数为8，众数为9 3分（）的可能取值为0，1，2 4分；所以抽取的2名男生中优秀人数的分布列为：012 10分（）略. 13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.（17）（共14分）（）证明：连结交于点，连结.因为 ， 所以 . 因为 ，所以 .所以 . 所以 . 2分因为 平面，平面，所以 平面. 4分（）证明：因为 平面平面，平面平面，平面，所以平面. 6分因为 平面，所以 . 7分同理可证：.因为 平面，平面， 所以平面. 9分
9、（）解：分别以边所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由得，则，.由（）得：平面.所以 平面的一个法向量为. 10分设，即.所以 .设平面的法向量为，则即令，则，.所以 . 12分因为 二面角的余弦值为，所以 ，解得.所以 的值为. 14分（18）（共13分）解：（）令，得. 故的零点为. 1分（）. 3分令 ，解得 . 当变化时，的变化情况如下表：所以 的单调递减区间为，单调递增区间为. 6分（）令.则. 7分因为 ，且由（）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 10分由得：.所以 .因为 , 所以 ，.所以 . 13分 （19）（共14分）解：（）依题意得解得：，. 3分 所以圆的方程为，椭圆的方程为. 5分（）解法一：如图所示，设（），则即
