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1、四 渐开线与摆线更上一层楼基础巩固1关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同思路解析：首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案：C2给出下列说法圆的渐开线的参数方程不能
2、转化为普通方程;圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A. B. C. D.思路解析：对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案：C3在圆的摆线上有点(,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径
3、最大的摆线上,参数=对应点的坐标为_.思路解析：首先根据摆线的参数方程(为参数),把点(,0)代入可得cos=1,则sin=0,=2k(kZ),所以r=(kZ).又r0,所以kN*,当k=1时,r最大为.再把=代入即可.答案：()4已知圆的渐开线的参数方程是(为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是_,当参数=时对应的曲线上的点的坐标为_.思路解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当=时对应的坐标只需把=代入曲线的参数方程,x=,y=,由此可得对应的坐标为(,).答案：2 (,)5已知一个圆的摆线方程是(为参数),求该圆的面积和对应的圆的摆线的
4、参数方程.思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积为16,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16.该圆对应的渐开线的参数方程是(为参数).6已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式,根据表达式求出r的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的方程.解：令y=0得r(1-cos)=0,即得cos=1,所以=2k(kZ).代入x=r(2k-s
5、in2k)=2,即得r=(kZ).又由实际可知r0,所以r=(kN*).易知,当k=1时,r最大值为代入即可得,圆的摆线的参数方程是(为参数),圆的渐开线的参数方程是(为参数).7已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是x-y-=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x轴的交点.思路分析：首先根据条件可知,圆的半径是6,平移后圆心为O(0,0),根据圆心O到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系.再由圆的半径写出圆的摆线方程.求摆线和x轴的交点只需令y=0,求出对应的参数,再代入求出x的值.解：(1)圆C平移后
6、圆心为O(0,0),它到直线x-y-=0的距离为d=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是(为参数).(3)令y=0得6-6cos=0cos=1,所以=2k(kZ).代入x得x=2k(kZ),即圆的摆线和x轴的交点为(2k,0)(kZ).综合应用8如图2-4-5,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”,其中弧AE、EF、FG、GH、的圆心依次按B、C、D、A循环,它们依次相连结,则曲线AEFGH的长是( )图2-4-5A.3 B.4 C.5 D.6思路解析：如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋
7、转可得是半径为2的圆周长,长度为；是半径为3的圆周长,长度为;是半径为4的圆周长,长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案：C9我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为_.思路解析：关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以,要写出摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,把其中的x与y互换,即是交换x与y对应的参数表达式.答案：(为参数)10我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图2-4-6中图(1).图中画出了
8、关于点O对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).图2-4-6方案二:圆的渐开线,如图2-4-6(2).图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线(以下同).受方案二的启示,可得.方案三:正方形的渐开线,如图2-4-6(3).请根据图(2)和图(3)写出图(2)和图(3)对应曲线的方程.思路分析：本探究目的在于探讨数学的美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.解：在
9、方案二中,建立如题图中图(2)所示的直角坐标系,圆弧的参数方程为(取基圆的半径r=1,1).曲线的参数方程为(为参数,且1).在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连结的,建立如题图中图(3)所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段由下列方程构成(式中nN,以下同):(x-)2+(y-)2=(0x1,y0)时表示半径为t的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆平移到圆心在原点,求出圆对应的摆线的参数方程;(3)求该摆线和直线y=t的交点(t0).思路分析：要求出直线和圆对应的普通方程只需把参数方程看作一个方程组联立消去其中的参数即可.把圆平移到圆心在原点只需变化圆心,把圆心平移到
10、原点,把半径代入摆线的参数方程即得摆线方程.求摆线和直线y=t的交点只需把y=t代入参数方程,求出参数,代入参数方程,再求出x即可.解：(1)如果把t看成参数,可得直线的普通方程为y-2=tan(x-2),即y=xtan-2tan+2.如果把看成参数且t0时,它表示半径为t的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=t2.(2)由于圆的半径为t,所以对应的摆线参数方程为(为参数).(3)令y=t得t,(1-cos)=t,得cos=0,则=2k+,代入x的参数方程得x=t(2k+-1)(kZ),即摆线和直线y=t的交点坐标为(t(2k+-1),t)(kZ).12某地工人为了用起重机吊起两条半径
11、分别为10 cm和30 cm的钢管,需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长?(打结部分不计,结果化简后可用和根式表示)思路分析：本题综合应用圆与圆的有关知识.求公切线的长、弧长等知识.实际上,要想把钢管全部扎紧就是要求出钢管对应的圆的渐开线的长度.解：设大、小管的轮廓线分别为O1和O2,如图所示.依题意,两圆外切,设切点为P.两圆的外公切线与O1和O2分别切于A,B,E,F.连结O1A,O2B,作O2CO1A于点C,则O1C=O1A-CA=O1A-O2B=20,O1O2=30+10=40.在RtO1O2C中,O2C=AB=.又,AO1O2=60,AO1E=120.的长=40.的长=.钢丝的长=2AB+的长+的长=240+=+.扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要+（cm）.6
