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1、2011全国中考真题解析 考点汇编二次函数的几何应用一、选择题1. （2011安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH的面积为y，AE=x则y关于x的函数图象大致是（）A、B、C、D、考点：二次函数综合题。分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1x，根据y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH，求函数关系式，判断函数图象解答：解：依题意，得y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH=14（1x）x=2x22x+1，即y=2x22x+1（0x1），抛物线开口向上，对称轴为x=，故选C点评：本
2、题考查了二次函数的综合运用关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴二、填空题1. （2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=2时，四边形ABCN的面积最大考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：应用题。分析：设BM=x，则MC=4x，当AMMN时，利用互余关系可证ABMMCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值解答：解：设BM=x，则MC=4x，AMN=90，AMB=90NMC=MNC，ABMMCN，
3、则，即，解得CN=，S四边形ABCN=44+=x2+2x+8，0，当x=2时，S四边形ABCN最大故答案为：2点评：本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式三、解答题1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数
4、关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有： 0=16+4b+3,得：b=所以二次函数的关系式为：y=x2+x+3当x=0时，y=3, 点B的坐标为（0，3）（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4x）2, 解得：x=，OP=4=所以点P的坐标为：（，0）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛
5、物线的解析式及点B的坐标（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标2. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；(2
6、)当0t2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；（2）正方形EFGH与ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：当0t时；当t时；当t2时；依次求S与t的函数关系式；（3）当t=5时，面积最大；解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，正方形EFGH的边长是2；当t
7、=3时，PE=1，PF=3，正方形EFGH的边长是4；（2）：当0t时， S与t的函数关系式是y=2t2t=4t2；当t时， S与t的函数关系式是： y=4t22t（2t）2t（2t） =t2+11t3；当t2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）（t+2）（2t）（2t）=3t；（3）当t=5时，最大面积是： S=16=；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力3. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3
8、)以AC,CB为一组邻边作ABCD,则点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D点的坐标，即可得出答案解答：解：（1）抛物线y=x2x+a其顶点在直线y=2x上抛物线y=x2x+a=（x22x）+a=（x1）2+a，顶点坐标为：（1，+a），y=2x，+a=2，a=；（2）二次函数解析式为：y=x2x，抛物线y=x2x与x轴交于点A，B，0=x2x，整理得：x22
9、x3=0，解得：x=1或3， A（1，0），B（3，0）；（3）作出平行四边形ACBD，作DEAB，二次函数解析式为：y=x2x，图象与y轴交点坐标为：（0，），CO=，DE=，CAO=DBE，DEB=AOC，AOCBDE，AO=1，BE=1， D点的坐标为：（2，），点D关于x轴的对称点D坐标为：（2，），代入解析式y=x2x，左边=，右边=42=，D点在函数图象上点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键4. （2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴
10、交于点C点D是抛物线的顶点（1）如图连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；（2）如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使
11、得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据OAC=60得出AO，从而求出a（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PCPB，从而得出PBPA，PBPC，PBPD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案解答：解：（1）令y0，由解得；令x0，解得y8a点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，该抛物线对
12、称轴为直线x3OA2如图，时抛物线与x轴交点为M，则AM1由题意得：，OAM60BAyO(图)xDCEFGHM，即（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立（）如图，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，PBPB又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形（）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)FB3，3PBPB （3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形 如图
13、，点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上， PAPB 当PCPD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形 点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，a) 点P的坐标是(3，t)， PC232(t8a) 2，PD2 (ta) 2 整理得7a22ta10，4t228 t是一个常数且t3，4t2280 方程7a22ta10有两个不相等的实数根 显然，满足题意 当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键5. （2
14、011江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0t2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F（1）当t1时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题：代数几何综合题。分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由
