《高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理导学案 北师大版选修2-3》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理导学案 北师大版选修2-3(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理自主整理1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,在第n类办法中有mn种方法.那么,完成这件事共有N=_种方法.(也称加法原理)2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,做第n步有mn种方法,那么,完成这件事共有N=_种方法.(也称乘法原理)高手笔记1.分类:“做一件事,完成它可以有n类办法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足
2、两条基本原理:(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则,才可以保证集合形式表述的分类加法计数原理的“S=S1S2Sn,SiSj=”两条基本原则成立,前者保证完成这件事的方法不遗漏,后者保证不重复,即使用分类加法计数原理的“不漏不重”.2.分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成.名师解惑1.如何正确选用两个计数原理?剖析:两个原理的
3、区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理;如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理.2.在使用两个计数原理解题时,怎样才能有效防止“重复”和“遗漏”的发生?剖析:(1)画“树形图”:当问题比较简单时,通过画“树形图”可以把所有的情况“不重不漏”地列举出来.(2)分类标准要统一:利用分类加法计数原理进行分类时,一定要以同一个标
4、准进行分类.(3)依次排序法:利用分步乘法计数原理时,把数字或字母分为先后,先排前面的数字或字母,再依次排后面的数字或字母,将最后的数字或字母排完则结束.讲练互动【例1】高三一班有学生50人,男30人,女20人;高三二班有学生60人,男30人,女30人;高三三班有学生55人,男35人,女20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法?分析:(1)选一名校学生会主席分三类:从高三一班中选一名,有50种选法;从高三二班中选一名,有60种选法;从高三三班中选一名,有5
5、5种选法,然后利用分类加法计数原理求解.(2)选一名校学生会体育部长分三类:从高三一班男生中选,有30种选法;从高三二班男生中选,有30种选法;从高三三班女生中选,有20种选法.然后再利用分类加法计数原理求解.解:(1)50+60+55=165种,即所求选法有165种.(2)30+30+20=80种,即所求选法有80种.绿色通道:(1)中的分类标准是“班级”;(2)中的分类标准是班级和题目中要求的“性别”.在同一个问题中分类标准要统一.变式训练1.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( )A.25 B.26 C.36 D.37解析:另两边长用x,y表示,且不妨设1xy11,要构成三
6、角形,必须x+y12.当y取值11时,x=1,2,3,11,可有11个三角形;当y取值10时,x=2,3,10,可有9个三角形当y取值6时,x只能取6,只有一个三角形.所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36,故选C.答案:C【例2】用数字1,2,3可以组成多少个四位数?分析:完成这件事可分为四个步骤:第一步确定千位数,第二步确定百位数,第三步确定十位数,第四步确定个位数,这四步依次完成了,这件事就完成了.所以可用分步乘法计数原理求解.解:要组成一个四位数可以分成四个步骤:第一步确定千位上的数字,从3个数字里任选一个数字,共有3种选法;第二步确定百位上的数字,依题意数字允许重复,仍有3
7、种选法;第三步确定十位数字,同理,也有3种选法;第四步,也有3种选法.根据分步乘法计数原理得到可以组成的四位数的个数是N=3333=34=81个.绿色通道:要确定一个四位数,从四位数各个位上的数字如何确定的角度考虑,分为四个步骤,这种方法称为位置优先法.变式训练2.用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,求有多少种不同的涂色方法?解:分四个步骤来完成涂色这件事.涂A有5种方法;涂B有4种方法;涂C有3种方法;涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色).根据分步乘法计数原理共有5433=180种涂色方法.【例3】一个三层书架,分别放置语文书12本
8、,数学书14本,英语书11本.(1)从中取出1本书,共有多少种不同的取法?(2)从中取出语文、数学、英语书各一本,有多少种不同的取法?(3)从中取出2本书,且语文、数学、英语每种只能选一本,有多少种不同的取法?分析:(1)中利用分类加法计数原理;(2)中利用分步乘法计数原理;(3)中先分类,然后再分步,利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解.解:(1)分三类,共有不同取法N=12+14+11=37种.(2)分三步,共有不同取法N=121411=1 848种.(3)分三类,每类分两步.从语文、数学书中各选1本,有1214种不同的选法;从语文、英语书中各选1本,有1211种不同的选法;从数学、
9、英语书中各选1本,有1411种不同的选法,所以共有不同的选法N=1214+1211+1411=454种.绿色通道:对于复杂的计数问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连续性.变式训练3.现有高一四个班学生共34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?解:(1)分四类,第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8
10、种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34种.(2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=78910=5 040种.(3)分六类,每类又分两步.从一班、二班学生中各选1人,有78种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法,所以共有不同的选法N=78
11、+79+710+89+810+910=431种.【例4】已知100到999的三位数,其中含有0的三位数有多少?分析:综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理,也可利用排除法求解.解法一:分类法.将含有数字0的三位数分三类:(1)只在个位上是0的,有99=81个;(2)只在十位上是0的,有99=81个;(3)个位与十位上都是0的,有9个.由分类加法计数原理,共有81+81+9=171个解法二:排除法.从所有的可能中减去不符合条件的排法的个数.从100到999所有的三位数共有999-99=900个,个位与十位均不为0的三位数由分步乘法计数原理共有999=729个,因此,含有数字0的三位数有900
12、-729=171个.绿色通道:“分类则加,分步则乘”是一个基本原则,分类要求不重、不漏,本例中的解法一按照0出现的数位及个数分为三类,是从特殊位置来讨论的.正难反易,因此排除法也是一种重要方法,如本例的解法二.变式训练4.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_个.解析:用逆向思维,用总数减去个位数为0和5的情况.由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数:千位数字有5种,百位数字有5种,十位数字有4种,个位数字有3种,共5543=300个;个位为0的四位数:千位数字有5种,百位数字有4种,十位数字有3种,共543=60个;个位为5的四位数:千位数字有4种,百位数字有4种,十位数字有3种,共443=48个.不能被5整除的数共有:300-60-48=192个.答案:1925.(2007高考陕西卷,文15)安排3名支教教师去4所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有_种.(用数字作答)解析:3名教师分到4所学校任教,可分三步,每一步安排一名教师,有4种方法.根据分步乘法计数原理,共有444=64种方法.因为要求每校至多2人,要减去3名教师分到同一所学校的情况,共4种.所以共有64-4=60种分配方案.答案:604