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1、第二章推理与证明学业水平达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是函数f(x)x3的极值点以上推理中()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D结论正确解析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那
2、么xx0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论因为大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号，那么xx0是函数f(x)的极值点，所以大前提错误答案：A2用反证法证明“方程ax2bxc0(a0)至多有两个解”的假设中，正确的是()A至多有一个解 B有且只有两个解C至少有三个解 D至少有两个解解析：“至多n个”的反设应为“至少n1个”故选C.答案：C3下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a1
3、1，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：A选项用的椭圆定义进行推理，不是归纳推理，B项根据前3项的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求，C项属于类比推理，D项是类比推理答案：B4观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g(x)g(x)答案：D5在等差
4、数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()Ab4b8b5b7 Bb4b8b5b7Cb4b7b5b8 Db4b7b5b8解析：根据类比特征，等差中a4a6a3a7，其中4637.因为(b4b8)(b5b7)b4(1q)2(1qq2)0，所以b4b8b5b7.答案：A6设x0，y0，A，B，则A与B的大小关系为()AAB BABCAB DAB解析：因为x0，y0，所以BA，所以AB.答案：C7已知x0，由不等式x22，x33，可以推出结论：xn1(nN*)，则a()A2nB3nCn2Dnn解
5、析：由两个不等式的结构特点知，x(n1)(n1)n1.所以ann.答案：D8如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2 010次互换座位后，小兔坐在()号座位上()A1B2C3D4解析：由题意得第4次互换坐位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2 01045022，所以第2 010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B.答案：B9已知数列an满足an1，a10，归纳出数列an的一
6、个通项公式为()Aan BanCan Dan解析：由an1和a10，得a2，a3，a4，a5，归纳上述结果，得到猜测an.故选B.答案：B10对于奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组有1个数1，第二组有2个数3,5，第三组有3个数7,9,11，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是()ASnn2 BSnn3CSnn4 DSnn(n1)解析：当n1时，S11；当n2时，S2823；当n3时，S32733.归纳猜想Snn3，故选B.答案：B11在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积之比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比
7、为()A12 B14C16 D18解析：平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.答案：D12六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图甲所示，在平行四边形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在图乙所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()甲乙A2(AB2AD2AA)B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA)D4(AB2AD2)解析：如图乙，连接A1C1，AC，则四边形AA1
8、C1C是平行四边形，故A1C2AC2(AAAC2)连接BD，B1D1，则四边形BB1D1D是平行四边形，故BDDB2(BBBD2)又在ABCD中，AC2BD22(AB2AD2)，AABB，则ACBDCADB2(AAAC2)2(BBBD2)2(AC2BD2BBAA)22(AB2AD2)2AA4(AB2AD2AA)故选C.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13观察数列，3，3，写出该数列的一个通项公式为_解析：将各项统一写成根式形式为，即，被开方数是正奇数的3倍，故an.答案：an14已知函数f(x)x3x，a，b，cR，且ab0，bc0，ca0，则f(a)f(b)f(c)的
9、值一定比零_(填“大”或“小”)解析：f(x)是R上的奇函数，且是增函数，由ab0，得ab，f(a)f(b)f(b)f(a)f(b)0，同理，得f(b)f(c)0，f(c)f(a)0.三式相加，整理得f(a)f(b)f(c)0.答案：大15观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_解析：分n为奇数、偶数两种情况第n个等式的左边为122232(1)n1n2.当n为偶数时，分组求和：(1222)(3242)(n1)2n2.当n为奇数时，(1222)(3242)(n2)2(n1)2n2n2.综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1)答案：1
10、22232(1)n1n2n(n1)16在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，请你计算“123234n(n1)(n2)”，其结果为_解析：因为n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)，所以123(12340123)，234(23451234)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)，所以123234n(
11、n1)(n2)1234012323451234n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)答案：n(n1)(n2)(n3)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的，证明如下：设，且a，则必有b，若与不相交，则必有.又，所以，与a矛盾
12、，所以必有b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交18(本小题满分12分)用反证法证明：如果x，那么x22x10.证明：假设x22x10，则x1，容易看出1，下面证明1.要证：1，只需证：，只需证：2.上式显然成立，故有1.综上，x1.而这与已知条件x相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立19(本小题满分12分)用分析法证明：若a0，则a2.证明：要证 a2，只需证 2a.因为a0，所以两边均大于零，因此只需证22，只需证a244a2222，只需证 ，只需证a2，即证a22，它显然成立，所以原不等式成立20(本小题满分12分)已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值解析：(1)函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y(a0，且a1)，则1y1，f(1x)，所以1yf(1x)所以点(1x，1y)在f(x)的图象上即函数yf(
