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1、第二章推理与证明学业水平达标检测时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f(x0)0,那么xx0是函数f(x)的极值点,因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0,所以x0是函数f(x)x3的极值点以上推理中()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D结论正确解析:在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析其大前提的形式:“对于可导函数f(x),如果f(x0)0,那
2、么xx0是函数f(x)的极值点”,不难得到结论因为大前提是:“对于可导函数f(x),如果f(x0)0,那么xx0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f(x0)0,且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号,那么xx0是函数f(x)的极值点,所以大前提错误答案:A2用反证法证明“方程ax2bxc0(a0)至多有两个解”的假设中,正确的是()A至多有一个解 B有且只有两个解C至少有三个解 D至少有两个解解析:“至多n个”的反设应为“至少n1个”故选C.答案:C3下列推理是归纳推理的是()AA,B为定点,动点P满足|PA|PB|2a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B由a1
3、1,an3n1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2,猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析:A选项用的椭圆定义进行推理,不是归纳推理,B项根据前3项的值,猜想出Sn的表达式,属于归纳推理,符合要求,C项属于类比推理,D项是类比推理答案:B4观察(x2)2x,(x4)4x3,(cosx)sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析:由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,所以g(x)g(x)答案:D5在等差
4、数列an中,若an0,公差d0,则有a4a6a3a7,类比上述性质,在等比数列bn中,若bn0,公比q1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()Ab4b8b5b7 Bb4b8b5b7Cb4b7b5b8 Db4b7b5b8解析:根据类比特征,等差中a4a6a3a7,其中4637.因为(b4b8)(b5b7)b4(1q)2(1qq2)0,所以b4b8b5b7.答案:A6设x0,y0,A,B,则A与B的大小关系为()AAB BABCAB DAB解析:因为x0,y0,所以BA,所以AB.答案:C7已知x0,由不等式x22,x33,可以推出结论:xn1(nN*),则a()A2nB3nCn2Dnn解
5、析:由两个不等式的结构特点知,x(n1)(n1)n1.所以ann.答案:D8如图所示,4个小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,这样交替进行下去,那么第2 010次互换座位后,小兔坐在()号座位上()A1B2C3D4解析:由题意得第4次互换坐位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 01045022,所以第2 010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.答案:B9已知数列an满足an1,a10,归纳出数列an的一
6、个通项公式为()Aan BanCan Dan解析:由an1和a10,得a2,a3,a4,a5,归纳上述结果,得到猜测an.故选B.答案:B10对于奇数列1,3,5,7,9,现在进行如下分组:第一组有1个数1,第二组有2个数3,5,第三组有3个数7,9,11,依此类推,则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是()ASnn2 BSnn3CSnn4 DSnn(n1)解析:当n1时,S11;当n2时,S2823;当n3时,S32733.归纳猜想Snn3,故选B.答案:B11在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积之比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比
7、为()A12 B14C16 D18解析:平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,由平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的底面积之比为14,对应高之比为12,所以体积比为18.答案:D12六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2BD22(AB2AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ACBDCADB等于()甲乙A2(AB2AD2AA)B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA)D4(AB2AD2)解析:如图乙,连接A1C1,AC,则四边形AA1
8、C1C是平行四边形,故A1C2AC2(AAAC2)连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,故BDDB2(BBBD2)又在ABCD中,AC2BD22(AB2AD2),AABB,则ACBDCADB2(AAAC2)2(BBBD2)2(AC2BD2BBAA)22(AB2AD2)2AA4(AB2AD2AA)故选C.答案:C二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13观察数列,3,3,写出该数列的一个通项公式为_解析:将各项统一写成根式形式为,即,被开方数是正奇数的3倍,故an.答案:an14已知函数f(x)x3x,a,b,cR,且ab0,bc0,ca0,则f(a)f(b)f(c)的
9、值一定比零_(填“大”或“小”)解析:f(x)是R上的奇函数,且是增函数,由ab0,得ab,f(a)f(b)f(b)f(a)f(b)0,同理,得f(b)f(c)0,f(c)f(a)0.三式相加,整理得f(a)f(b)f(c)0.答案:大15观察下列等式:1211222312223261222324210照此规律,第n个等式可为_解析:分n为奇数、偶数两种情况第n个等式的左边为122232(1)n1n2.当n为偶数时,分组求和:(1222)(3242)(n1)2n2.当n为奇数时,(1222)(3242)(n2)2(n1)2n2n2.综上,第n个等式:122232(1)n1n2n(n1)答案:1
10、22232(1)n1n2n(n1)16在计算“1223n(n1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1),由此得12(123012),23(234123),n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加,得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法,请你计算“123234n(n1)(n2)”,其结果为_解析:因为n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2),所以123(12340123),234(23451234),n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2),所以123234n(
11、n1)(n2)1234012323451234n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)答案:n(n1)(n2)(n3)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行解析:(1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交结论是正确的,证明如下:设,且a,则必有b,若与不相交,则必有.又,所以,与a矛盾
12、,所以必有b.(2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面也可能相交18(本小题满分12分)用反证法证明:如果x,那么x22x10.证明:假设x22x10,则x1,容易看出1,下面证明1.要证:1,只需证:,只需证:2.上式显然成立,故有1.综上,x1.而这与已知条件x相矛盾,因此假设不成立,也即原命题成立19(本小题满分12分)用分析法证明:若a0,则a2.证明:要证 a2,只需证 2a.因为a0,所以两边均大于零,因此只需证22,只需证a244a2222,只需证 ,只需证a2,即证a22,它显然成立,所以原不等式成立20(本小题满分12分)已知函数f(x)(a0,且a1)(1)证明:函数yf(x)的图象关于点对称(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值解析:(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点对称的点的坐标为(1x,1y)由已知得y(a0,且a1),则1y1,f(1x),所以1yf(1x)所以点(1x,1y)在f(x)的图象上即函数yf(