《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)学案 北师大版必修2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)学案 北师大版必修2(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)1.通过长方体这一常见的空间图形,了解空间图形的基本构成点、线、面的基本位置关系.2.理解异面直线的概念,以及空间图形的基本关系.(重点、易错点)3.掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)基础初探教材整理1空间图形的基本关系阅读教材P22P23“练习”以上部分,完成下列问题.位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上Aa点B在直线a上Ba点与面的位置关系点A在平面内A点B在平面外B直线与直线的位置关系平行ab相交abO异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内a线面相交aA线面平行a平面与平面的位置关系面面平行面面相交a(1)不平行的
2、两条直线的位置关系为相交.()(2)两个平面的交线可以是一条线段.()(3)直线l在平面内,可以表示为“l”.()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线.()【解析】(1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面,故(1)错.(2)两个平面的交线是直线,故(2)错.(3)正确.(4)可能相交或平行,故(4)错.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2空间图形的公理阅读教材P23“练习”以下至P25“公理4”以上部分,完成下列问题.1.三个公理:名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A,B,C三点不共线,则点A,B,C确定一个平
3、面使A,B,C公理2如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若Al,Bl,A,B,则l 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A,A,且与不重合,则l,且Al.2.公理1的三个推论:推论1:一条直线和直线外一点确定一个平面.推论2:两条相交直线确定一个平面.推论3:两条平行直线确定一个平面.公理1及其推论给出了确定平面的依据.两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对【解析】若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合.【答案】C小组合作型
4、空间点、线、面的位置关系(1)如果a,b,laA,lbB,那么l与的位置关系是_.图141(2)如图141,在正方体ABCDABCD中,哪几条棱所在的直线与直线BC是异面直线?【精彩点拨】(1)把文字语言翻译成图形语言,作出判断;(2)可借助空间中的实物模型判断.【自主解答】(1)如图,l上有两点A,B在内,根据公理2,l.【答案】直线l在平面内(2)棱DC,AB,AA,DD,AD,AD所在的直线与直线BC是异面直线.1.判断空间点、线、面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图,充分发挥空间想象能力,对位置关系做出判断.2.对于异面直线,它们“不同在任何一个平面内”,注意对关键词“任何”的理解
5、.再练一题1.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B;(2)l,mA,Al;(3)Pl,P;Ql,Q.【解】(1)点A在平面内,点B不在平面内;(2)直线l在平面内,直线m与平面相交于点A,且点A不在直线l上;(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图(1)(2)(3)所示.点线共面问题证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号:39292015】【精彩点拨】先说明两条相交直线确定一个平面,然后证明另外一条直线也在该平面内.或利用公理1的推论,说明三条相交直线分别确定两个平面,然后证明,重合.【自主解答】已知:如图所示,
6、l1l2A,l2l3B,l1l3C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.法一:l1l2A,l1和l2确定一个平面.l2l3B,Bl2又l2,B.同理可证C,又Bl3,Cl3,l3.直线l1,l2,l3在同一平面内.法二:l1l2A,l1,l2确定一个平面.l2l3B,l2,l3确定一个平面.Al2,l2,A.Al2,l2,A.同理可证,B,B,C,C.不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内,平面和平面重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;(2
7、)先由其中一部分点、线确定一个平面,其余点、线确定另一个平面,再证平面与重合,即用“同一法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.再练一题2.已知Al,Bl,Cl,Dl(如图142),求证:直线AD,BD,CD共面.图142【证明】因为Dl,所以D和l可确定一平面,设为.因为Al,所以A.又D,所以AD.同理BD,CD,所以AD,BD,CD都在平面内,即它们共面.探究共研型点共线与线共点问题探究1如图143所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,那么点P,B,D共线吗?请说明理由.图143【提示】连接BD.EF,HG相交
8、于一点P,且EF平面ABD,GH平面CBD,P平面ABD且P平面CBD.又平面ABD平面BCDBD,PBD,点P,B,D共线.探究2如图144,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于Q,能否判断B,Q,D1三点共线?图144【证明】D1平面ABC1D1,D1平面A1D1CB,B平面ABC1D1,B平面A1D1CB,平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q,且A1C平面A1D1CB,Q平面A1D1CB,Q平面ABC1D1,Q在两平面的交线BD1上,B,Q,D1三点共线. 已知ABC在平面外,它的三边所在的直线分别交平面于P,Q,R(如图14
9、5).求证:P,Q,R三点共线.图145【精彩点拨】解答本题可以先选两点确定一条直线,再证明第三点也在这条直线上.【自主解答】证明:法一:ABP,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.由公理3可知,点P在平面ABC与平面的交线上.同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上.P,Q,R三点共线.法二:APARA,直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP,ACR,平面APR平面PR.B平面APR,C平面APR,BC平面APR.又Q直线BC,Q平面APR.又Q,QPR,P,Q,R三点共线.证明多点共线主要采用如下两种方法:一是首先确定两个平面,然后证明这些点是这两个平面的公共点,再根据公
10、理3,这些点都在这两个平面的交线上;二是选择其中两点确定一条直线,然后再证明其他的点都在这条直线上.证明三线共点问题的方法主要是:先确定两条直线交于一点,再证明该点是这两条直线所在平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线.再练一题3.如图146所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.图146【提示】如图,连接EF,D1C,A1B.E为AB的中点,F为AA1的中点,EFA1B.又A1BD1C,EFD1C,E,F,D1,C四点共面,且EFD1C,D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA,CE平面ABCD,P为平面A
11、1D1DA与平面ABCD的公共点.又平面A1D1DA平面ABCDDA,根据公理3,可得PDA,即CE,D1F,DA三线交于一点.1.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.对边相等的四边形【解析】对四边相等的四边形可以是空间四边形.【答案】D2.若点Q在直线b上,b在平面内,则Q,b,之间的关系可记作()A.QbB.QbC.QbD.Qb【解析】点Q(元素)在直线b(集合)上,Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内,b,Qb.【答案】B3.设平面与平面交于直线l,A,B,且直线ABlC,则直线AB_.【解析】l,ABlC,C,CAB,ABC.【答案】C4.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则直线a与直线c的位置关系是_.【解析】两条直线a,c都与同一条直线b是异面直线,则这两条直线平行、相交或异面都有可能.【答案】平行、相交或异面5.已知直线ab,直线l与a,b都相交,求证:过a,b,l有且只有一个平面. 【导学号:39292016】【证明】如图所示.ab,直线a,b确定一个平面,证这个平面为.设alA,blB,A,B,且Al,Bl,l.即过a,b,l有且只有一个平面.8