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1、专题01 常用公式大全及必记结论一、集合与简易逻辑1.几何关系及运算中常用结论2含有个元素的集合共有 个子集；1个真子集；非空子集有 1个；非空的真子集有2个.3.含逻辑连接词命题真假判定与真假相反；一假即为假，两真才为真； 一真即为真，两假才为假。 4.常见结论的否定形式结论是都是大于小于至少一个至多一个至少个至多有个对所有，成立或且对任何，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（）个至少有（）个存在某，不成立且或存在某，成立5.特称命题与全称命题的否定全称命题：对，使成立，其否定为：，使成立；特称命题：，使成立，其否定为：，使成立。6. .四种命题的相互关系原命题互逆逆命
2、题若则若则互互互为为互否否逆逆否 否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非原命题与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假7.充要条件判定方法 定义法：若，则是充分条件；若，则是必要条件；若，且，则是充要条件.集合法：若满足条件的集合为A，满足条件的集合为B，若AB，则是的充分不必要条件；若BA，则是必要不充分条件；若A=B则，是 充要条件。对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.二、函数1.函数值域与最值求法(1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法.(2)换元法：换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括
3、代数换元和三角代换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为，如是关于或的二次函数，如含和的函数等常用换元法，常设=，=，=，等等，在用代数换元法时，注意新变量的范围.在换元前后原变量的范围应保持不变；对于，满足圆的方程或椭圆的方程或可化为平方和为1的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为或（0，1）的含二次根式的函数的最值问题，常设=或=，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围.（3）利用函数有界性求值域（最值）若可化为关于、 、 （0且1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有界性求最值，这类问题通常有两种思路
4、，（1）将函数解析式看作方程，用将，或表示出来，利用，等值域或范围，化为关于的不等式，通过解关于的不等式求出的范围，即可求出最值；利用这些函数的有界性，再利用不等式性质或函数的图像与性质，求出函数的最值.（4）不等式法若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域.若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和的形式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值时，.应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最值时，多次用到均值不等式，一定要
5、注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值.（5）利用判别式求值域（最值）对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用此法，另外要注意要验证判别式为0时是否成立（6）数形结合法对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据的范围，求出内函数的值域，结合三角函数的图像，求出三角函数的范围，在利用不等式的性质求出值域，这类最值问题是高考考查的重点（
6、7）分段函数的值域先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域.（8）复合函数的值域先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，在求出完函数的值域就是复合函数的值域.2.分式函数（）图像与性质通过常量分离化为：=对称中心为（，），可将函数=的图像向左（0）(向右（0）平移|个单位，再向上（0）（向下（0）平移|个单位得到.当0时，减区间为（-，），（，+）；当0时，的增区间为（-，），（，+）.3.二次函数解析式与性质(1)解析式：一般式;顶点式;零点式.（2）性质:顶点为（，），对称轴为：=； 当0时，减区间为（-，），增区间为（，
7、+）； 当0时，增区间为（-，），减区间为（，+）4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当0时，.若，则； (2)当0时，若，则，若，则，.5.一元二次方程的实根分布，是一元二次方程=0的根，设=.根的分布充要条件充要条件1充要条件2,(,+)且,(-,)且6. 不等式恒成立、有解判断结论：(1)(2)对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则.7.函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.8.单调函数性质与复合函数单调性如果
8、函数和在相同区间上是单调函数,则增函数+增函数是增函数；减函数+减函数是减函数；增函数-减函数是增函数；减函数-增函数是减函数；如果函数和在其对应的定义域上都是减函数（增函数）,则复合函数是增函数.如果函数和在其对应的定义域上一个是减函数另一个是增函数，则复合函数是减函数.9函数的奇偶性是奇函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于原点对称；是偶函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于轴对称；10.函数的图象的对称性结论若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；函数关于点（，0）对定义域内任意都有=是奇函数；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是
9、；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为；函数关于对称.11.两个函数对称的结论两个函数与 的图象关于直线对称.函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.函数与函数的图象关于直线(即轴)对称。函数与函数的图象关于点（0,0）（即原点)对称。12.函数的图象变换将函数图像的图象；将函数图像的图象；将函数图像的图象；将函数图像的图象；13.几个函数方程的周期(约定0)（1）对定义域内任意都有，则的周期T=；（2）对定义域内任意都有，或，或,则的周期T=2；（3）若函数关于=，=对称，则的周期为；（4）若函数关于（，0），（，0）对称，则的周期为；（5）若函数关于=，（，0）对称，则的周期为.1
10、4.分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.15根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.16有理指数幂的运算性质(1) . (2) .(3).注： 若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.17.指数式与对数式的互化式 .18.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).对数恒等式：19对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1);(2) ; (3).20. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.三、数列1.数列的第n项与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为
11、).2.等差数列的通项公式；其前n项和公式为.3.等比数列的通项公式；其前n项的和公式为或.4.等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为.四、三角函数与解三角形1常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .2.两角和差的三角函数： 辅助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用. 3.三角函数图像的对称中心和对称轴的结论：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线.函数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线.函数对称轴可由解出；对称中心的纵坐标是方程的解，对称中心的
12、横坐标为.正切函数是奇函数，对称中心是，函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.4.中的结论：（1）正弦定理：.（2）余弦定理：;.（3）面积定理：（分别表示a、b、c边上的高）.（4）其它结论：.,. ,. . 锐角中,. .五、平面向量1.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：;(2)第一分配律：;(3)第二分配律：2.向量的数量积的运算律：(1) = ; (2) = =;(3)3.平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底4向量
13、平行的坐标表示 设=,=，且，则 ()存在唯一使得.5. 与的数量积(或内积)= 6. 的几何意义数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的乘积7.平面向量的坐标运算(1)设=,=，则=. (2)设A，B,则.(3)设=，则=.(4)设=,=，则=.8.两向量的夹角公式(=,=).9.向量垂直的充要条件 设=,=， ()=0.10.三点共线的充要条件及中点公式 （1）P、Q、M三点共线（）.（2）P是线段QM的中点若M,N,则线段QM的中点（）11. 三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.六、不等式1.常用不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)，变形：(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)，变形：(当且仅当ab时取“=”号)（3）（当且仅当时取“=”）（4）柯西不等式 设，R,则,当且仅当=0（=1,2，）或存在一个实数，使得=（=1,2，）时，等号成立.（5）.2.一元二次不等式解法若对应两根为，且0，则0；03.含有绝对值的不等式 当a 0时，有.
