《（浙江专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用教案（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用教案（含解析）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐
2、渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题以上过程用框图表示如下：小题体验1(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为
3、yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到_只答案：2001函数模型应用不当，是常见的解题错误所以要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性小题纠偏1甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点答案：D2据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元
4、若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是_答案：y0.1x1 200(0x4 000)典例引领某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系(1)当h1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围解：由题意，最高点为(2h,4)，(h1)设抛物线方程为yax(2h)24.(1)当h1时，
5、最高点为(3,4)，方程为ya(x3)24.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a1.即所求抛物线的方程为yx26x5.(2)将点A(2,3)代入yax(2h)24，得ah21.由题意，方程ax(2h)240在区间5,6内有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，则解得1h.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是.由题悟法二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题即时应用某企业为打入国际市场，
6、决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m6,8，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划解：(1)由题意得y110x1(2
7、0mx1)(10m)x120(0x1200且x1N)，y218x2(408x2)0.05x0.05x10x2400.05(x2100)2460(0x2120且x2N)(2)6m8，10m0，y1(10m)x120为增函数又0x1200，x1N，当x1200时，生产A产品的最大利润为(10m)200201 980200m(万美元)y20.05(x2100)2460(0x2120，且x2N)，当x2100时，生产B产品的最大利润为460万美元(y1)max(y2)max(1 980200m)4601 520200m.易知当6m7.6时，(y1)max(y2)max.即当6m7.6时，投资生产A产品
8、200件可获得最大年利润；当m7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；当7.6m8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润典例引领为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(
9、1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元由题悟法应用函数yx模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件即时应用“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年
10、来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)(x0，k为常数)记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y
11、取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，C(0)4，k1 000，y0.2x40.2x(x0)(2)y0.2(x5)1217，当x520，即x15时，ymin7，当x为15平方米时，y取得最小值7万元典例引领1某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11, lg 20.30)A2018年B2019年C2020年 D2021年解析：选C法一：设2
12、016年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(112%)n200，得1.12n，两边取常用对数，得n，所以n4，所以从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列an，其中，首项a1130，公比q112%1.12，所以an1301.12n1.由1301.12n1200，两边同时取常用对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.2某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位
13、：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时解析：选C由已知得192eb，48e22kbe22keb，将代入得e22k，则e11k，当x33时，ye33kbe33keb319224，所以该食品在33 的保鲜时间是24小时由题悟法指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题即时应用某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本x35917年利润y1234给出以下3个函数模型：ykxb(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系
