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1、第49讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科,3名同学欲报名参赛,每人必选且只能选择1个学科参加竞赛,则不同的报名方法种数是()A.C53B.A53C.53D.352.如图K49-1所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()图K49-1A.6,8B.6,6C.5,2D.6,23.已知集合A=1,2,3,4,5,B=5,8,9,现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合,则可以组成这样的新集合的个数为()A.8B.12C
2、.14D.154.有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字,现要取出1个“迎”字和1个“新”字配成一套使用,则不同的取法共有种.5.从0,1,2,3这四个不同的数字中任选三个数字,组成没有重复数字的三位数,则这样的三位数共有个.6.某校科技大楼电子阅览室在第五层,从下一层到上一层均有2个楼梯可供选择,则由一楼上到电子阅览室所在楼层的不同走法共有()A.26种B.25种C.24种D.52种7.2018惠州调研 若各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个8.有不同的语文书9本,不同的数学书
3、7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.153种D.143种9.某山区希望小学为丰富学生的伙食,教师们在校园附近开辟了如图K49-2所示的四块菜地,分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜.若这三种蔬菜种植齐全,同一块地只能种植一种蔬菜,且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜,则不同的种植方式共有()1234图K49-2A.9种B.18种C.12种D.36种10.从甲、乙、丙等10名学生中选派4人参加某项活动,若甲入选则乙一定入选,若甲不入选则丙一定入选,则不同的选派方案共有()A.112种B.36种C.42种D.84种11.2018湖南
4、郴州模拟 用六种不同的颜色给如图K49-3所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有()图K49-3A.4320种B.2880种C.1440种D.720种12.如图K49-4,一只蚂蚁从A点沿着长方体的棱爬向B点,则最短的路线有条.图K49-413.(原创)晚上吃完饭,王先生到 “旅游小商品一条街”散步,看中了一店内价值分别为30元和50元的两种纪念品,但他身上仅有100元钱,若王先生至少买1件纪念品,则他不同的买法共有种.14.在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有个.(用数字作答)15.设x1,x2,x3,x4-1,0,2,那么满足2|x1|
5、+|x2|+|x3|+|x4|4的所有有序数对(x1,x2,x3,x4)的组数为.16.方程ay=b2x2+c中的a,b,c-2,0,2,3,且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有条.课时作业(四十九)1.C解析 由题知每名同学都可以从5个学科中任选1个学科,由分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数是555=53.2.A解析 由题意,根据分步乘法计数原理,可得从甲地经乙地到丙地的走法共有32=6(种);再由分类加法计数原理,可得从甲地到丙地共有6+2=8(种)走法.3.C解析 根据新集合元素的特征可将其分类为:新集合中有5和没有5两类进行分析.当新集合中没有元素
6、5时,有42=8(个)新集合,当新集合中有元素5时,有4+2=6(个)新集合.故一共有14个.4.12解析 分两步:第一步,取“迎”字,有4种不同取法;第二步,取“新”字,有3种不同取法.故有43=12(种)不同的取法.5.18解析 当选到的三个数字含0时,0只能排在个位或十位,能组成232=12(个)三位数;当选到的三个数字不含0时,能组成的三位数有321=6(个).所以组成的三位数共有18个.6.C解析 从一楼到二楼有2种走法,从二楼到三楼有2种走法从一楼到五楼分4步进行,每步都有2种不同的走法,所以根据分步乘法计数原理可得由一楼上到电子阅览室所在楼层的不同走法共有24种.7.B解析 由题
7、意知,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数,分别为400,040,004;由3,1,0组成6个数,分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成3个数,分别为220,202,022;由2,1,1组成3个数,分别为211,121,112.所以共有3+6+3+3=15(个)首位为2的“六合数”.8.D解析 由题意,选1本语文书和1本数学书有97=63(种)选法;选1本数学书和1本英语书有75=35(种)选法;选1本语文书和1本英语书有95=45(种)选法.共有63+35+45=143(种)选法.9.B解析 若有两块地种植西红柿,则他们种在第1,
8、3块地或第1,4块地或第2,4块地,其余两块地种黄瓜和茄子,所以共有32=6(种)种植方式;若有两块地种植黄瓜或茄子,同样各有6种种植方式.所以一共有63=18(种)不同的种植方式.10.D解析 当甲入选时,由题意可得乙一定入选,另外2人可从剩余的8人中选取,共有C82=28(种)方案;当甲不入选时,由题意得丙一定入选,另外3人从剩余的8人中选取,共有C83=56(种)方案.根据分类加法计数原理可得共有28+56=84(种)不同的选派方案.11.A解析 分步进行:1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂
9、色方法,5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知,共有654343=4320(种)不同的涂色方法.12.6解析 共有3个顶点与A点相邻,经过每个相邻顶点都有2条到达B点的最短路线,所以蚂蚁从A点沿着长方体的棱爬向B点的最短路线有32=6(条).13.6解析 要完成的一件事是“至少买1件纪念品”,分三类完成:买1件纪念品,买2件纪念品,买3件纪念品.买1件纪念品有2种方法,即买1件价值30元的或买1件价值50元的;买2件纪念品有3种方法,即买2件价值30元的或买2件价值50元的或价值30元和价值50元的各买1件;买3件纪念品有1种方法,即买3件价值30元的.故共有2+3+1=6(种)
10、不同的买法.14.40解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形,共有84=32(个);第二类,有两条公共边的三角形,共有8个.由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).15.45解析|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2时,0+0+0+2=2,有4种可能,0+1+0+1=2,有6种可能,共10种可能;|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3时,0+1+1+1=3,有4种可能,0+1+2+0=3,有12种可能,共16种可能;|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4时,0+0+2+2=4,有6种可能,1+1+1+1=4,有1种可能,0+1+1+2=4,有12种可能,共19种可能.由分类加法计数原理可得共有45组不同的有序数对.16.11解析 若方程ay=b2x2+c表示抛物线,则a0,b0.方程变形得y=b2ax2+ca,分b=-2,2,3三种情况讨论:当b=-2,a=2时,c=0,3;当b=-2,a=3时,c=0,2;当b=2,a=-2时,c=0,3;当b=2,a=3时,c=-2,0;当b=3,a=2时,c=-2,0;当b=3,a=-2时,c=0,2.其中当b=-2,a=3,c=0时与当b=2,a=3,c=0时,方程所表示的抛物线重合,所以不同的抛物线有12-1=11(条).5
