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1、初中数学问题解决课堂教学模式的研究与实践摘要：数学学习能力与数学问题的解决有密切的关系。数学问题的解决对于发展学习能力具有极其重要的作用。有效地进行数学问题解决的教学，必须要了解数学问题解决的基本结构，把握对题意的理解，做出解题的设想，检验这个设想，回顾解题过程四个数学问题解决的基本过程，懂得其具体的实施策略：通过设计条件、结论开放性的数学问题，培养学生的数学探究能力；通过设计探究性的数学问题，培养学生的数学创造能力；通过设计、建立模型问题，培养学生解决实际数学问题的能力。数学问题解决的活动应由学生主动独立地进行，教师的指导应体现在为学生创设情境、启迪思维、引导方向上；对学生数学创造性学习能力
2、的培养与训练，要体现在数学问题具体解决的过程中；教师对数学问题的设计要注意可行性的原则，数学问题的提法和安排要讲究一定的教学艺术性，教师要尽量激励学生自己提出数学问题关键词：数学问题、数学问题解决、教学、数学学习能力一、问题的提出1基于对数学新课程标准的认识上海市中小学数学课程标准（试行稿）指出：“应为学生探索求知创设合适的情境，重视从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程。”“懂得从数学的角度去思考问题，能通过数学的操作实验或理性活动进行合情推理，提出猜想并进行判断；会利用已有的知识经验，自主进行探索和尝试解决新情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，能解决一些简单的实际问题。”
3、“通过积极参与数学学习和解决问题的活动，发展主体意识、综合意识、评价意识，初步养成积极探究的态度、独立思考的习惯、实事求是的作风和团队合作的精神。”“加强数学的过程教学，重视教学开放性和发展性。”“应采用开放性的教学策略，为学生提供更多的机会和时间，让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结等，促使学生的思维空间充分开放。”由此可看出初中数学学习在掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法的基础上，必须学会有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，并运用数学的思想方法分析问题和解决问题。2基于对传统数学教学的反思传统的教学模式比较重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的
4、培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多。学生机械地模拟一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。受传统数学的影响，在初中数学学习中，我发现学生在解决来自实际生活中或用生活中的语言叙述的问题时，感到非常困难，他们不能把实际生活中的语言抽象成数学语言去理解，不能把生活实际中的图形抽象成几何基本图形去分析。例如，列方程解应用
5、题、解直角三角形的测量问题、有关利润的问题等，当问题出现多个答案，或需让学生自己得出结论时，大部分学生无从下手，只有很少学生偶有思路。3基于对数学开放性问题价值功能的认识查阅近几年上海中考试题出现了不少立意深刻、背景新颖的开放性题目，这既有利于考察学生的创新能力，也有利于发掘学生的最大潜能。在初中数学教学中开展开放性问题教学，旨在通过创设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的
6、兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。因此在初中数学课堂教学中，引入开放性问题，让学生在开放中探索，在探索中创造，对提高学生创造性地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力是非常有益的。二、数学问题及其解决1数学问题数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行
7、探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。2数学问题解决的涵义数学领域中的问题解决，与其他科学领域用数学去解决问题不同，它不但关心问题的结果，而且更关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程。所以，我们认为，数学问题解决，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，它一步一步地靠近
8、目标，最终达到目标。在数学问题解决的过程中，既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉、灵感等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。这里，我们首先要看到非逻辑思维对逻辑思维的依赖性。灵感的产生固然是爆发式的，但爆发的基础却是长期有目的的思考。其次，逻辑方法的具体运用，也往往借助于直觉。非逻辑思维发散、自由，联想的方面广，有充分的灵活性，富有创造力，能直接接触到问题的目标。但是，它毕竟是一种猜测，没有充分的理由作为依据，结论不一定真实。可是，没有这种猜测，问题解决就没有起点。有了这个起点，然后才能利用逻辑推理提供猜测的依据，验证这种猜测成立，或者将其否定。从数学教育的角度来看，问题解决
9、中所指的问题来自两个方面：现实社会生活和生产实际，数学学科本身。问题的一个重要特征是其对于解决问题者的新颖性，使得问题解决者没有现成的对策，因而需要进行创造性的工作。要顺利地进行问题解决，其前提是已经了解、掌握所需要的基础知识、基本技能和能力，在问题解决中要综合地运用这些基础知识、基本技能和能力。在问题解决中，问题解决者的态度是积极的。此外，在学校数学教学中，所谓创造性地解决问题，有别于数学家的创造性工作，主要指学习中的再创造。因而，笔者认为，从数学教育的角度看，问题解决的意义是：以积极探索的态度，综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学课或实际生活和生产实际中的新问
10、题的学习活动。三、数学问题解决的结构及其基本途径1数学问题解决的结构数学问题的解决这个思维活动，由以下几种成分组成：理解题意，即全面认识问题的条件和运算；研究与该问题的目标有关的全部情况，并把它们同其他问题区分开来；联系已经解决的问题，提出解题的各种设想；检验这些设想，并且选择最佳的设想，制订解决方案；验证结论，并把结论尽可能地推广到新情况中去。因此，数学问题的一般解法应该包括以下四个部分：一是对已知条件（包括条件和运算）的完整认识，即给出问题的惟一初始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以推导出目标；二是说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、定理等理论依据；三是完整说明目标，即对问题结论
11、的完整描述；四是从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都能在对前面的状态应用适当运算以后得到。2数学问题解决的基本途径结合上述对数学问题解决的结构分析，下面结合具体的案例来说明数学问题解决的基本途径。案例1：任意一个三角形ABC，它的三条边都被4等分。从顶点A、B、C分别向对边的那一点E、F、G引直线，它们两两相交于L、M、N。求LMN与ABC的面积之比。（1）做好对题意的理解当我们开始理解这道题的题意时，LMN与ABC的面积的关系并不能直接看出来，但很容易看出LMN的面积可以由ABC的面积减去LAB的面积、MBC的面积、NC A的面积得到，于是LMN与
12、ABC的面积关系就转化成其周围小三角形与ABC的面积关系。这是对题意的新的理解。注意到LMN周围的三个小三角形与ABC分别都是同底不同高的，因而它们的面积比就是高之比。又注意到ABC各边被4等分，把这些情况联系起来不难发现线段的比例关系，对解决此题有很大作用。这是对题意更深入的理解。（2）做出解题的一个设想联系过去的解题经历（联系已经解决的问题），寻找线段比例关系的常用办法是利用相似三角形。在此题中，构造相似三角形的最简便方法是利用4等分点作平行线。如右图中那样作平行线GH、DF，就立即出现一系列相似三角形：ABCAGH，CFPCHG，FPMBCM等。于是可以猜想MBC与ABC高之比很可能由此
13、得到。至此，实际上已经有了解题的一个设想或方案。（3）检验这个设想由上述的三对相似三角形可知，GH=BC，PF=GH=BC。设ABC的高为x，MBC的高为y, FPM的高为z，则,就有。而y+z=x，所以。 MBC与 ABC的面积比是。同理，LAB与ABC，NCA与ABC的面积之比为。从而问题所求的LMN与ABC的面积之比是。至此，可以说对这个问题已经得到了一个解法。这一解法中，所涉及的内容有：添置辅助线；平行线的性质定理；相似三角形的判定与性质定理；合比定理；推理规则等。（4）回顾解题过程按照解题思维活动过程的几个成分，回顾以上的解题过程，可产生一些新的认识。当进一步理解题意，研究与问题有关
14、的全部情况时，注意到如果原问题已知LMN与ABC的面积之比是一定值，再要求求出这个定值，那么尽管上述解法仍然有效，但增加了“定值”这一条件，使解法产生质的变化。由这个“定值”及题中的ABC是“任意”三角形，而产生一个重要的启示：内外三角形面积之比的定值关系，既然对任意三角形都能成立，那么自然对特殊三角形等边三角形亦成立，因此只要就等边三角形这一特殊情形加以研究，一个新的简便的方法就应运而生了。可见，经过“特殊化”，对问题产生了新的认识。在此基础上，进一步思考：能否把这个问题的结论推广到新情况中去？这是解题思维活动中极为重要的组成部分，但在多数情况下被学生甚至教师忽视了，往往使学生丧失了尝试一下
15、发明创造滋味的机会，对培养学生创造精神不利。就这道题而言，容易想到：交任意三角形各边4等分后，内外三角形的面积之比是一个定值，那么将任意三角形各边5等分、6等分n等分后，内外三角形面积之比与n之间是否有一个函数关系呢？可见，所谓在数学问题解决中得到一个解法，就是找到一个解决问题的途径，并且能够预见甚至能够证明，照这个途径做下去就一定可以取得成功。换句话说，按照这个途径从问题的初始状态开始，只要施行适当的运算，就可以建立一系列中间状态，从而架设成一座通往目标的桥梁。当然，在解决问题的最初，常常并不知道一个有效的方案，但我们可以尽力寻找它，希望最后能知道它，这个方案就是思维活动寻求的目标，一旦找到它，就能达到问题的终点。四、数学问题解决教学的实施策略1、通过设计条件、结论开放性的数学问题，培养学生的数学探究能力。案例2：已知ABC，P是边AB上的一点，连CP。 问题（1）ACP满足什么条件时，ACPABC？ 生：ACP=B时，ACPABC。 师：回答正确，请同学们回答问题（2） 问题（2）AC：AP满足什么条件时，ACPABC？ 生：AC：AP=AB：AC时，ACPABC。 师：回答正确，请同学们回答问题 （3） 问题（3）已知 ABC，P是AB边上一点，连结CP，要使 ACPABC，只需加上什么条件即可？（写三种方案） 生甲：ACP= B、 AC：AP=AB：AC
