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1、石家庄学院本科毕业论文积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名 马洪宇 学号 080424011 所在院(系) 数学科学学院 专业班级 08级信息与计算专业 指导教师 李向阳 完成地点 石家庄学院 2012年 5月 30日积分中值定理在数学分析中的应用马洪宇(石家庄学院08级信息与计算专业)指导老师:李向阳摘 要 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是:一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.关键词 积分;中值;定理;应用1 引
2、言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2 预备知识定理 2.11 (积分第一中值定理) 若在区间a,b上连续,则在a,b上至少存在一点使得 .证明 由于在区间a,b上连续,因此存在最大值和最小值.由,使用积分不等式性质得到,或.再由连续函数的介值性,至少存在一点,使得定理 2.21 (推广的积分第一中值定理) 若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得证明 推广的第一中值积分定理不妨设在上则在上有其中,分别为
3、在上的最小值和最大值,则有若,则由上式知,从而对上任何一点,定理都成立.若则由上式得则在上至少存在一点,使得即 显然,当时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3 积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理. 在使用积分中值定理时要注意以下几点:(1) 在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件,否则,结论不一定成立.例如,显然在处间断.由于但在上,所以,对任何都不能使.(2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉.例如 令 由于 ,但所以,不存在,使(3) 定理中所指出的并不一定
4、是唯一的,也不一定必须是的内点.例如 令,则对都有,这也说明了未必在区间的内点.下面就就其应用进行讨论.3.1 求函数在一个区间上的平均值例1 试求在上的平均值.解 平均值例2 试求心形线上各点极经的平均值.解 平均值注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义.3.2 估计定积分的值例3 估计的值.解 由推广的积分第一中值定理,得 其中因为所以即 故例 4 估计的值.解 因为在上连续,且,所以由积分第一中值定理有. 在估计其类积分的值时,首先我们要
5、确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.例 5 估计的值.解 因为在上连续,在内可导,且在内无解,即,等号仅在时成立.故在内严格单调增,即,所以由积分第一中值定理有.在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯.3.3 求含有定积分的极限例6 求极限为自然数.解 利用中值定理,得因为在
6、上连续,由积分中值定理得当时,而|.故=0.例7 求.解 若直接用中值定理=,因为而不能严格断定,其症结在于没有排除,故采取下列措施=+.其中为任意小的正数.对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有.=,.而第二个积分=,由于得任意性知其课任意小.所以=+=0.注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量的趋近方式.3.4 确定积分的符号例8 确定积分的符号.解 =+=+=+ =-+ =利用积分中值定理,得=0.(其中)又在上不恒等于0,故. 注 在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分
7、写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性.3.5 证明中值的存在性命题例9 设函数在上连续,在内可导,且,证明,使,证明 由积分中值定理得,(其中)又因为在上连续,在内可导.故在上满足罗尔定理条件,可存在一点,使. 注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的.3.6 证明不等式例10 求证 证明 其中,于是由即可获证.例 11 证明 .证明 估计连续函数的积分值的一般的方法是求在的最大
8、值和最小值,则.因为 ,所以.例 12 证明 证明 估计积分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,则.本题中令 .因为 所以.例13 证明.证明 在区间上求函数的最大值和最小值.,令,得驻点.比较,知为在上的最小值,而为在上的最大值.由积分中值定理得,即.注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如11和12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.3.7 证明函数的单调性例 14 设函数在上连续,试证:在内,若为
9、非减函数,则为非增函数. 证明 ,对上式求导,得利用积分中值定理,得,若为非减函数,则,所以,故为非减函数. 综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.217-219.2张筑生.数学分析新讲M.北京:北京大学出版社,1990.92-95.3 刘
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12、s (Second edition), Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102.Mean Value Theorem in Mathematical AnalysisLi Zhengbang(Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstract: This paper des
13、cribes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral of symbol;5. Proof of the existence of the value proposition;6. To prove integral inequality,7. To prove monotonicity of a function. Key words: intergral;average-value;theory;applied.