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1、高中数学复习系列-不等式(柯西不等式)【柯西不等式的主要内容】1. 柯西主要贡献简介: 柯西(Cauchy),法国人,生于1789年,是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字,如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式: 若,则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10. 若,则或; 变式20. 若,则 ; 变式30.(三角形不等式)设为任意实数,则: 3. 一般形式的柯西不等式:设为大于1的自然数,(1,2,),则: .当且仅当 时, 等号成立. (若时,约定,1,2,).变式10. 设
2、 则: .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设 则:. 当且仅当时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的! 柯西不等式的应用:例1. 已知实数满足, . 试求的最值 例2 在实数集内 解方程 例3 设是三角形内的一点,是到三边的距离,是外接圆 的半径,证明: 例4 (证明恒等式) 已知 求证:。例5 (证明不等式)设 求证:【同步训练】 1.已知,求证: 2.已知是不全相等的正数,求证: 3.已知. 4.设 求
3、证: 5.已知实数满足, 求的取值范围. 6.已知 且 求证: 7.已知正数满足 证明 8.若n是不小于2的正整数,试证:。 参考答案: 一般形式的柯西不等式: 设为大于1的自然数,(1,2,),则:, 其中等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,). 等号成立当且仅当 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式,而且它对初等数学也有很可的指导作用,利用它能高远瞩、居高临下,从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。例1 解:由柯西不等式得,有 即 由条件可得, 解得,当且仅当 时等号成立, 代入时, 时 例2解:由柯西不等式,得 又. 即不等式中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号
4、成立的条件,得它与联立,可得 例3证明:由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。例4 证明:由柯西不等式,得 当且仅当时,上式取等号, 于是 。 例5 分析:这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证:证明:为了运用柯西不等式,我们将写成于是 即 故我们进一步观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式这和,其中每一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明。练习 1证: 2、 3 4、 5 6 7证明:利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上得:故9、证明:证明: 所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是: 又由柯西不等式有 8