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1、P x y A OM T 高一数学三角函数综合提升讲义 一重难点整合： 1. 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为180 ,kk 终边在 y轴上的角的集合为18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk 与角终边相同的角的集合为360,kk 2. 已知是第几象限角， 确定 * n n 所在象限的方法： 先把各象限均分n等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来
2、是第几象限对应的标 号即为 n 终边所落在的区域 3. 弧度制与角度制的换算公式：2360，1 180 ， 180 157.3 4. 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r，弧长为l，周长为C，面积为S，则 lr，2Crl， 2 11 22 Slrr 5. 设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,x y，它与原点的距离是 22 0r rxy，则sin y r ，cos x r ，tan0 y x x 6. 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第 四象限余弦为正 7. 三角函数线：sin，cos，tan 7.同角三角函数的基本关系： 22 1 sin
3、cos1 2222 sin1cos,cos； sin 2tan cos sin sintancos,cos tan 8. 三角函数的诱导公式： 1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin，coscos，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos 2 ，cossin 2 6 sincos 2 ，cossin 2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 9. 函数sinyx的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数sinyx的图 象；再将函数sinyx的
4、图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐 标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的 纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象 函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到 函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度， 得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸 长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象 10. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyx cosyxtanyx 图 象
5、 定 义 域 RR , 2 x xkk 值 域 1,11,1 R 最 值 当2 2 xkk 时， max 1y；当 2 2 xk k时， min 1y 当2xkk时， max 1y；当2xk k时， min 1y 既无最大值也无最小值 周 期 性 22 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2,2 22 kk k上是增函数；在 3 2,2 22 kk k上是减函数 在2,2kkk上 是增函数；在 2,2kk k上是减函数 在, 22 kk k上是增函数 对 称 性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 函 数 性 质 对称
6、轴xkk 二典例精析 基础题： 1.若角与终边相同，则一定有（） A180B0 C360 ,kkZD360 ,kkZ 2.设角、满足180180 ，则的范围是 _ ( 360 ,0 )，0 ，又180180，180180， 360360综上可知的范围是3600 3.若 为第一象限角，那么sin2 ，cos2 ，sin 2，cos 2中必定为正值的有 () A0 个B 1 个C2 个D3 个 解析： 由于 为第一象限角，所以2为第一或二象限角，sin2 0，cos2符号不确定， 2为第一或三象限角， sin 2，cos 2的符号均不确定故选 B. 答案： B 4.解答下列问题： (1)若 在第四
7、象限，试判断sin(cos ) cos(sin )的符号； (2)若 tan(cos ) tan(sin )0，试指出所在象限，并用图形表示出 2所取的范围 解： (1) 在第四象限， 00，cos(sin )0， sin(cos ) cos(sin )0. (2)由题知 tan(cos )0， tan(sin )0 或 tan(cos )0， tan(sin )0. 0cos 1， 0sin 1 或 1cos 0， 1sin 0， 即 在第一或第三象限； 若 在第一象限， 则 2的取值范围如图 所示；若 在第三象限， 则 2的取值范围如图 所示 (见阴影部分，不含边界) 5.已知 tan 1
8、 tan1 ，求下列各式的值： （1） sin3cos sincos ； （2） 2 sinsincos 2 解：由已知，得 1 tan 2 ，则 （1） sin3cos sincos 1 3 tan35 2 1 tan13 1 2 ； （2） 2 sinsincos2 222 sinsincos2(sincos) 22 22 3sinsincos2cos sincos 2 2 3tantan2 tan1 2 2 11 32 1322 5 1 1 2 6.已知 1 sincos 5 ，(0 )，求下列各式的值 （1） tan；（2） sincos；（3） 33 sincos 解： （1） 1
9、sincos 5 ， ( (0 )， 21 (sincos )12sincos 25 12 sincos0 25 sin0， cos 0 联合 22 1 sincos 5 sincos1 ， ， 整理可得 2 25sin5sin12 0 解得 4 sin 5 ，或 3 sin 5 （舍去） 4 sin 5 ， 3 cos 5 4 tan 3 （2） 2247 sincos(sincos )12sincos1 255 （3） 3322 sincos(sincos )(sincossincos ) 1121377 1 525525125 7.化简： 790cos250sin 430cos290si
10、n21 解： 790cos250sin 430cos290sin21 = )360270cos()70180sin( )36070cos()36070sin(21 = 70sin70cos 70cos70sin21 = 70sin70cos )70cos70(sin 2 = 70sin70cos 70cos70sin =1 8.已知 1 cos(75) 3 ，是第三象限角，求cos(15)sin(15 )的值 解： cos(15)sin(75) ， 又是第三象限角，sin(75)0 2 2 sin(75) 3 而 1 sin(15 )cos(75) 3 原式 2 212 21 333 9.已知
11、角终边上一点P（ 4， 3） ，求 ) 2 9 sin() 2 11 cos( )sin() 2 cos( 的值 【解】 4 3 tan x y 4 3 tan cossin sinsin ) 2 9 sin() 2 11 cos( )sin() 2 cos( 已知 cos = 3 1 ，cos（ + ） =1，求证： cos（2 + ） = 3 1 证明： cos（ + ）=1， + =2k cos（2 + ）=cos（ + + ） =cos（ +2k ）=cos = 3 1 10.是否存在一个实数k ， 使方程 2 86210xkxk的两个根是一个直角三角形的两个锐角 的正弦？ 解：设直角
12、三角形两个锐角为，则 sinsin，是方程 2 86210xkxk的两个根 90 ， sincos 由根与系数的关系，得 3 sincos 4 21 sincos 8 k k 2 2 ，整理得 2 98200kk， 解得 12 10 2 9 kk， 当2k时，原方程变为 2 81250xx， 1441600， 原方程无解，2k舍去 将 10 9 k代入，得 11 sincossinsin 72 ， sinsin，异号，应有sin0或 sin0，实际上 sin0， sin 0， 10 9 k不满足题意，k值不存在 11.已知函数f(x) 2 1 log(sinxcosx) （1）求它的定义域和值
13、域；（ 2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 【分析】研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考 虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系. 【解】（1）由题意得sinxcosx 0，即2 sin(x 4 )0 从而得 2k x 4 2k ，所以函数的定义域为（2k 4 ，2k 5 4 ）(kZ) 0sin(x 4 ) 1， 0sinxcosx2 即有 2 1 log(sinxcosx) 2 1 log2 1 2 .故函数的值域是 1 2 ， + ). （2）sinxcosx2 sin（x
14、4 )在 f(x)的定义域上的单调递增区间为（2k 4 ，2k 3 4 ）(kZ)，函数 f(x)的递减区间为（2k 4 ，2k 3 4 ） (kZ). (3)f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， 函数 f(x）是非奇非偶函数. （4）f(x2 ) 2 1 logsin(x2 )cos(x2 ) 2 1 log（sinxcosx)f(x). 函数 f(x)是周期函数，2 是它的一个周期. 12.如下图为函数)0,0,0()sin(AcxAy图像的一部分 （1）求此函数的周期及最大值和最小值 （2）求与这个函数图像关于直线2x对称的函数解析式 【解】 （1）由图可知， 从 412 的
15、的图像是函数)0,0,0()sin(AcxAy 的三分之二个周期的图像，所以 1)24( 2 1 3)24( 2 1 c A ，故函数的最大值为3，最小值为3 8 2 3 2 6 12T把 x=12,y=4 代入上式，得 2 所以，函数的解析式 为：1 6 cos3xy （2）设所求函数的图像上任一点（x,y)关于直线2x的对称点为（yx ,） ，则 yyxx,4代入1 6 cos3xy 中得1) 63 2 cos(3 x y 与 函 数1 6 c o s3xy 的 图 像 关 于 直 线 2x 对 称 的 函 数 解 析 式 为 ： 1) 63 2 cos(3 x y 13.已知函数xxy 2 1 cos3 2 1 sin，求： （1）函数 y 的最大值，最小值及最小正周期； （2）函数 y 的单调递增区间 【解】) 32 1 sin(2xy（ 1）函数y 的最大值为2，最小值为2，最小正周期 4 2 T （2）由Zkkxk, 2 2 32 1 2 2， 得 函 数y的 单 调 递 增 区 间 为 ： Zkkk, 3 4, 3 5 4
