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1、P x y A OM T 高一数学三角函数综合提升讲义 一重难点整合: 1. 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为180 ,kk 终边在 y轴上的角的集合为18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk 与角终边相同的角的集合为360,kk 2. 已知是第几象限角, 确定 * n n 所在象限的方法: 先把各象限均分n等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来
2、是第几象限对应的标 号即为 n 终边所落在的区域 3. 弧度制与角度制的换算公式:2360,1 180 , 180 157.3 4. 若扇形的圆心角为为弧度制,半径为 r,弧长为l,周长为C,面积为S,则 lr,2Crl, 2 11 22 Slrr 5. 设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,x y,它与原点的距离是 22 0r rxy,则sin y r ,cos x r ,tan0 y x x 6. 三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第 四象限余弦为正 7. 三角函数线:sin,cos,tan 7.同角三角函数的基本关系: 22 1 sin
3、cos1 2222 sin1cos,cos; sin 2tan cos sin sintancos,cos tan 8. 三角函数的诱导公式: 1 sin 2sink,cos 2cosk,tan 2tankk 2 sinsin,coscos,tantan 3 sinsin,coscos,tantan 4 sinsin,coscos,tantan 口诀:函数名称不变,符号看象限 5 sincos 2 ,cossin 2 6 sincos 2 ,cossin 2 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限 9. 函数sinyx的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数sinyx的图 象;再将函数sinyx的
4、图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐 标不变),得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上所有点的 纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变) ,得到函数sinyx的图象 函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变) ,得到 函数 sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度, 得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸 长(缩短)到原来的倍(横坐标不变) ,得到函数sinyx的图象 10. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sinyx cosyxtanyx 图 象
5、 定 义 域 RR , 2 x xkk 值 域 1,11,1 R 最 值 当2 2 xkk 时, max 1y;当 2 2 xk k时, min 1y 当2xkk时, max 1y;当2xk k时, min 1y 既无最大值也无最小值 周 期 性 22 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2,2 22 kk k上是增函数;在 3 2,2 22 kk k上是减函数 在2,2kkk上 是增函数;在 2,2kk k上是减函数 在, 22 kk k上是增函数 对 称 性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 函 数 性 质 对称
6、轴xkk 二典例精析 基础题: 1.若角与终边相同,则一定有() A180B0 C360 ,kkZD360 ,kkZ 2.设角、满足180180 ,则的范围是 _ ( 360 ,0 ),0 ,又180180,180180, 360360综上可知的范围是3600 3.若 为第一象限角,那么sin2 ,cos2 ,sin 2,cos 2中必定为正值的有 () A0 个B 1 个C2 个D3 个 解析: 由于 为第一象限角,所以2为第一或二象限角,sin2 0,cos2符号不确定, 2为第一或三象限角, sin 2,cos 2的符号均不确定故选 B. 答案: B 4.解答下列问题: (1)若 在第四
7、象限,试判断sin(cos ) cos(sin )的符号; (2)若 tan(cos ) tan(sin )0,试指出所在象限,并用图形表示出 2所取的范围 解: (1) 在第四象限, 00,cos(sin )0, sin(cos ) cos(sin )0. (2)由题知 tan(cos )0, tan(sin )0 或 tan(cos )0, tan(sin )0. 0cos 1, 0sin 1 或 1cos 0, 1sin 0, 即 在第一或第三象限; 若 在第一象限, 则 2的取值范围如图 所示;若 在第三象限, 则 2的取值范围如图 所示 (见阴影部分,不含边界) 5.已知 tan 1
8、 tan1 ,求下列各式的值: (1) sin3cos sincos ; (2) 2 sinsincos 2 解:由已知,得 1 tan 2 ,则 (1) sin3cos sincos 1 3 tan35 2 1 tan13 1 2 ; (2) 2 sinsincos2 222 sinsincos2(sincos) 22 22 3sinsincos2cos sincos 2 2 3tantan2 tan1 2 2 11 32 1322 5 1 1 2 6.已知 1 sincos 5 ,(0 ),求下列各式的值 (1) tan;(2) sincos;(3) 33 sincos 解: (1) 1
9、sincos 5 , ( (0 ), 21 (sincos )12sincos 25 12 sincos0 25 sin0, cos 0 联合 22 1 sincos 5 sincos1 , , 整理可得 2 25sin5sin12 0 解得 4 sin 5 ,或 3 sin 5 (舍去) 4 sin 5 , 3 cos 5 4 tan 3 (2) 2247 sincos(sincos )12sincos1 255 (3) 3322 sincos(sincos )(sincossincos ) 1121377 1 525525125 7.化简: 790cos250sin 430cos290si
10、n21 解: 790cos250sin 430cos290sin21 = )360270cos()70180sin( )36070cos()36070sin(21 = 70sin70cos 70cos70sin21 = 70sin70cos )70cos70(sin 2 = 70sin70cos 70cos70sin =1 8.已知 1 cos(75) 3 ,是第三象限角,求cos(15)sin(15 )的值 解: cos(15)sin(75) , 又是第三象限角,sin(75)0 2 2 sin(75) 3 而 1 sin(15 )cos(75) 3 原式 2 212 21 333 9.已知
11、角终边上一点P( 4, 3) ,求 ) 2 9 sin() 2 11 cos( )sin() 2 cos( 的值 【解】 4 3 tan x y 4 3 tan cossin sinsin ) 2 9 sin() 2 11 cos( )sin() 2 cos( 已知 cos = 3 1 ,cos( + ) =1,求证: cos(2 + ) = 3 1 证明: cos( + )=1, + =2k cos(2 + )=cos( + + ) =cos( +2k )=cos = 3 1 10.是否存在一个实数k , 使方程 2 86210xkxk的两个根是一个直角三角形的两个锐角 的正弦? 解:设直角
12、三角形两个锐角为,则 sinsin,是方程 2 86210xkxk的两个根 90 , sincos 由根与系数的关系,得 3 sincos 4 21 sincos 8 k k 2 2 ,整理得 2 98200kk, 解得 12 10 2 9 kk, 当2k时,原方程变为 2 81250xx, 1441600, 原方程无解,2k舍去 将 10 9 k代入,得 11 sincossinsin 72 , sinsin,异号,应有sin0或 sin0,实际上 sin0, sin 0, 10 9 k不满足题意,k值不存在 11.已知函数f(x) 2 1 log(sinxcosx) (1)求它的定义域和值
13、域;( 2)求它的单调减区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期. 【分析】研究复合函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)应同时考 虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系. 【解】(1)由题意得sinxcosx 0,即2 sin(x 4 )0 从而得 2k x 4 2k ,所以函数的定义域为(2k 4 ,2k 5 4 )(kZ) 0sin(x 4 ) 1, 0sinxcosx2 即有 2 1 log(sinxcosx) 2 1 log2 1 2 .故函数的值域是 1 2 , + ). (2)sinxcosx2 sin(x
14、4 )在 f(x)的定义域上的单调递增区间为(2k 4 ,2k 3 4 )(kZ),函数 f(x)的递减区间为(2k 4 ,2k 3 4 ) (kZ). (3)f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称, 函数 f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x2 ) 2 1 logsin(x2 )cos(x2 ) 2 1 log(sinxcosx)f(x). 函数 f(x)是周期函数,2 是它的一个周期. 12.如下图为函数)0,0,0()sin(AcxAy图像的一部分 (1)求此函数的周期及最大值和最小值 (2)求与这个函数图像关于直线2x对称的函数解析式 【解】 (1)由图可知, 从 412 的
15、的图像是函数)0,0,0()sin(AcxAy 的三分之二个周期的图像,所以 1)24( 2 1 3)24( 2 1 c A ,故函数的最大值为3,最小值为3 8 2 3 2 6 12T把 x=12,y=4 代入上式,得 2 所以,函数的解析式 为:1 6 cos3xy (2)设所求函数的图像上任一点(x,y)关于直线2x的对称点为(yx ,) ,则 yyxx,4代入1 6 cos3xy 中得1) 63 2 cos(3 x y 与 函 数1 6 c o s3xy 的 图 像 关 于 直 线 2x 对 称 的 函 数 解 析 式 为 : 1) 63 2 cos(3 x y 13.已知函数xxy 2 1 cos3 2 1 sin,求: (1)函数 y 的最大值,最小值及最小正周期; (2)函数 y 的单调递增区间 【解】) 32 1 sin(2xy( 1)函数y 的最大值为2,最小值为2,最小正周期 4 2 T (2)由Zkkxk, 2 2 32 1 2 2, 得 函 数y的 单 调 递 增 区 间 为 : Zkkk, 3 4, 3 5 4