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1、江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（203）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.平面上m个点无三点共线，其凸包为n边形，适当连线可得一个由三角形组成的网格区域，记其中不重叠的三角形个数为 。2.任取平面区域D：内一点，定点满足，则的最大值为 。3.设抛物线C：的焦点为F，其准线与轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线C交于A、B两点，且。则 .4.如图1，在正方体中，点E、F、G分别为线段上的动点，给出以下四个命题：对任意点E，存在点F，使得;对任意点F，存在点E，使得 对任意点E，存在点G，使得对任意点G，存在点E，使得，从中任选两个命题，其中恰有
2、一真一假的概率P= 。5.任取，均有，则的最小值为 。6.不等式的解集为 。7.实数满足，且.则的取值范围是 。8.在平面区域内任取个点，均能将这个个点分成A、B两组，使得A组所有的横坐标之和不大于6，而B组所有点的纵坐标之和不大于6，则正整数的最大值为 。二、解答题（共56分）9.（16分）求M的最小值，使得函数对区间的任一分割均满足。10.（20分）如图2，椭圆的左、右顶点分别为A、B，在椭圆C 上任取异于A、B的点P，直线PA、PB分别与直线交于点M、N，直线MB与椭圆C交于点Q.（1）求的值；（2）证明：A、Q三点共线。11.（20分）设，且，定义数列：。求集合中元素个数的最大值。加试一、（40分）如图3，过外一点P作切线PA、PB以及割线PCD，过点C作PA的平行线分别与AB、AD交于点E、F。证明：EC=EF.二、（40分）证明：。三、（50分）设，对任意非空有限实数集A、B，求的最小值，其中称为集合与的对称差，且四、（50分）设整数，对置于个点处的卡片如下操作：操作A：若某个点处的卡片数不少于3，则可从中取出三张，在三点处各放一张；操作B：若点O处的卡片数不少于，则可从中取出张，在个点处各放一张。证明：只要放置于这个点处的卡片总数不少于，则总能通过若干次操作，使得每个点的卡片数均不少于- 5 -
