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1、浙江杭州八中2019届上学期高三数学周末自测卷十一第I卷（选择题）一、单选题1已知集合 ，则的真子集个数为（ ）A. B. C. D. 2设， 是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件3定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设, ， ， 则, , 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 4在数列中， ， ，则的值为（ ）A. B. 5 C. D. 5函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 6现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了场， 各踢了场， 踢了场，且
2、队与队未踢过， 队与队也未踢过，则在第一周的比赛中， 队踢的比赛的场数是（ ）A. B. C. D. 7设函数 ，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 8如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 9已知函数若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10已知双曲线： 的左右焦点分别为， ， 为双曲线上一点， 为双曲线C渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且， ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题11我国古代
3、数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_ _日（结果保留一位小数，参考数据： ， ）-10212.已知随机变量的分布列，其中 则= ，= .13在中，内角，的对边分别为，且（1） ； （2）若，则 14.已知集合是同一坐标平面内一些点组成的集合，若,且,则原点到直线的距离是 ，集合所表示的区域的最大面积 .15已知向量，满足，则的最小值是_，与夹角的余弦值的最大
4、值是_.16.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）17. 平面直角坐标系中，已知椭圆左、右焦点分别是，焦距为，若曲线:满足对,与至多2个公共点，求椭圆的离心率的范围是 .三、解答题18（本小题满分14分）已知函数在区间上的最大值为.()求常数的值;()在中,角所对的边长分别为,若,面积为,求边长.19如图,在四棱锥中,点是棱上一点,且,底面是正方形,为正三角形,平面与平面交于直线,且平面平面.(1)求证: 平面；(2)求直线与平面所成角
5、的大小.（第19题图）20 (本题满分15分) 设函数f(x).(1)求函数f(x)的值域；(2)当实数x0,1，证明：f(x)2x2.21（本题满分15分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴的对称点为（1）当时，求线段的中点的坐标；（2）若，求面积的最大值22.（本题满分15分）设函数数列满足，（1）证明：函数在区间是增函数；（2）证明：；（3）设，整数，证明：浙江杭州八中2019届上学期高三数学周末自测卷十一参考答案1B【解析】因为抛物线的图象与直线的图象，有两个交点，所以有两个元素，故的真子集个数为，故选B.2B【解析】 由复数为纯虚数，则，解得， 所以是复数为纯虚数的充要条
6、件，故选B3C【解析】 因为偶函数满足，所以函数的周期为， 则， ， 因为，且函数在上单调递减， 所以，故选C4B【解析】 在数列中， ， 所以， 所以是以为周期的周期数列，因为，故选B5C【解析】 因为函数， 由，可得，所以函数的定义域为， 再由，可得，且在上为单调递增函数，故选C6D【解析】依据题意： 踢了场， 队与队未踢过，则C队参加的比赛为： ；D踢了场， 队与队也未踢过，则D队参加的比赛为： ；以上八场比赛中， 包含了队参加的两场比赛，分析至此， 三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中， ， 各踢了2场，即余下的比赛为
7、： ，综上可得，第一周的比赛共11场： ， ， 则队踢的比赛的场数是.本题选择D选项.7D【解析】 由题意，则， 画出函数的大致图象，如图所示， 由图可得，当时，方程恰有三个根， 由得；由得， 由图可知， 与点关于直线对称； 点和点关于对称， 所以， 所以，故选D 点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期，求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐
8、标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.8C【解析】 根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥， 正方体的棱长为， 为棱的中点，最大的侧面积为，故选C 9A【解析】由分段函数的解析式可得： ，即： ，结合函数有最小值可得： ，据此可得： ，即实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值
9、是否满足相应段自变量的取值范围10D【解析】 由双曲线的方程的左右焦点分别为， 为双曲线上的一点， 为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则， ，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)11 2.6 解析：设蒲的长度组成等比数
10、列，其前项和；莞长度组成等比数列，其前 项和；则，化简得，得，即：12.；1 解析：解得，故13； 解析：（1） 由及正弦定理得 ，从而， （2）由（1）知，若，则，所以14. 1； 解析：原点到直线的距离，所以是单位圆的切线上的点组成的集合，集合所表示的区域的最大面积。151； 解析：设向量的夹角为，所以，所以所以，解得；.16. 432 解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1；4，3，2，1；3，3，2，2；取出的卡片数字为4，4，1，1时；有种不同排法；取出的卡片数字为3，3，2，2时；有种不同排法；取出的卡片数字为4，3，2，1时；每个数字都有两种不同的取法，则有种不同排法；所以共
11、有种不同排法17. 解析：曲线:的图像最低点为，随着从到变化时，当为椭圆上这两个点和时，为临界点；所以只要在处的切线的斜率，既满足题意，而过的切线方程为，所以，所以18【答案】解:(1) 4分因为,所以 所以当即时,函数在区间上取到最大值 此时,得 7分(2)因为,所以, 即 ,解得(舍去)或 9分因为,所以.10分因为面积为, 所以,即.- 由和解得 12分因为,所以 14分19（本题15分）答案：（1）见解析；（2）（1）底面是正方形,.又平面,平面.平面. （5分）又平面与平面交于直线,又平面,平面,平面.（7分）（2）延伸平面与棱交于点,.,为的中点,是棱的中点. （9分）又,则直线与
12、平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小, （11分）平面平面,平面,平面平面,为正三角形,平面为直线与平面所成的角,又=,直线与平面所成角的大小为.（15分）20.（15分）解(1)函数f(x)的定义域是1,1，f(x)，当f(x)0时，解得1x0，当f(x)0时，解得0x1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增， 4分f(x)minf(1)f(1)，f(x)maxf(0)2， 7分函数f(x)的值域为，2(2)证明：设h(x)x22，x0,1，h(0)0，h(x)(1x)(1x)xx，10分()2，h(x)0.h(x)在(0,1)上单调递减， 13分又h(0)0，h(x)h(0)0， f(x)2x2. 15分21（本题15分）答案：（1）；（2）16（1）当时，直线，联立直线与抛物线的方程，消去，得，（2分）所以线段的中点的纵坐标为4，又点在直线上，故的坐标为.（5分）（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，消去可得，.设，则，（7分）且.联立直线与抛物线的方程，消去可得，所以，（9分）所以，即直线过点，
