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1、证明三点共线方法举要四川省广元市宝轮中学 唐明友有些数学问题要求你证三点共线，或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉得无从下手，茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上，显然有失严密性，造成解题不完整或失误。本文介绍证明三点共线的若干种方法，希望对你有所帮助。一.运用平角的定义证三点共线例1.已知：在ABC的边AC、BC的外侧作等边ACE、等边BCD，这两个三角形的外接圆相交于另一点O，求证：点A、O、D三点共线。证明：连接OA、OC、OD，四边形AOCE内接于圆，2E=180 又ACE和BCD都是等边三角形，E=60，3=60 2=180E=18060=120，1=3=60,1
2、2=180 点A、O、D三点共线。二.运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线例2.已知：AD是ABC中CAB的外角平分线，过C作CDAD于D，点E、F分别为AC、BC的中点，求证：D、E、F三点共线。证明:连接DE、EFDE是RtADC斜边上的中线，DE=AE=EC，2=3AD平分CAX，1=21=3，DEAB 又EF是ABC的中位线EFAB D、E、F三点共线。三.运用“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”证三点共线例3.如图，直线DA、DC、CB分别切O于点A、E、B，ADBC，AD=2,BC=4，求O的直径。解：连接OA、OB，过D作DFBC于FDA、DC、CB均
3、是O的切线OAAD,OBBC,DE=DA=2,CE=CB=4又ADBC，OABC根据OBBC，OABC，可知点A、O、B三点共线，即AB是直径，在RtDFC中，DF=4因此，O的直径AB为4四.运用“连接其中的两点构成的两条线段重合”证三点共线例1.如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD、BC的中点分别是M、N，BC=90，且BCAD,求证：MN=（BCAD）证明：延长BA、CD相交与G，分别连接GM、GN，由已知得GBC、GAD都是Rt，先在RtGAD 中，GM是斜边上的中线，GM=GA=MD，MGA=1同理可证NGB=BADBC，1=BMGA=NGB ，即MGA与NGB是同一个角，GM和G
4、N重合点G、M、N三点共线由直角三角形斜边上中线的性质有：GM=AD,GN=BC因此，MN=GNGM=（BCAD）。五.运用“连接其中两点的直线必过第三点”证三点共线例5.已知：ABC的外心为O，垂心为H，OMBC于M，（1）求证：OM=AH(2)设ABC的重心为G，求证：点O、H、G三点共线。证明：（1）如图1，作直径BD，连接AD、CD，则O、M分别是BD、BC的中点，OMCD，且OM=CD 又BAD=90，CHABADCH又知AHBC，OMBC，OMAHCD四边形AHCD是平行四边形，CD=AH因此，OM=AH(2)如图2，连接AM、OH，设AM与OH交于G，由（1）得OM=AH且OMA
5、H，OMGHAG=，即MG=AG但AM为ABC的中线，G是这个三角形的外心，又G是ABC的外心G与G重合因此，点O、H、G三点共线。 六.运用“三角形中两边之和等于第三边”证三点共线例6.已知：点P为等边ABC外一点，设PA=PBPC,将ABP绕点A旋转至ACD，求证：点P、C、D三点共线。证明：由图形可知旋转角是60，PAD=60且PA=DA,PAD是等边三角形PA=PD又ABPACD,PB=DC若PA=PBPC， DCPC=PDPCD不能构成三角形，即点P、C、D三点只能共线。以上有些例题还可运用其他方法证明三点共线，比如例3还可通过添加辅助线运用第一种和第二种方法予以证明，留给同学们自己去思考。总之，这类题型具有一定的技巧性，且综合性较强，但证明所运用的知识却很简单，只要善于总结，及时反思，注重数学思想方法和数学思维的训练，同学们的综合解题能力就可以迅速提高。 3
