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1、第38讲数列求和1掌握数列求和的常用方法与思路2能选择适当的方法解决有关数列求和的问题 知识梳理1常用公式(1)等差数列求和公式：Snna1d，推导方法是倒序相加.(2)等比数列求和公式：Sn，推导方法是错位相减.2常用方法(1)分组求和法：将通项展开后分解成几组，其中每一组可转化为等差或等比数列或其他可求和的数列求和(2)裂项求和法：将数列中的通项拆成两项之差求和，使之正负相消，剩下首尾若干项(3)并项求和法：依次将数列中相邻两项并成一项，使之转化为等差或等比数列或其他可求和的数列求和(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列(倒序)与原数列相加，叫倒序相加，主要用于倒序相加后对应项和有公因式可
2、提的数列求和，如等差数列求和公式就是用倒序相加法推导出来的(5)错位相减法：这是推导等比数列前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别为等差数列和等比数列1常见数列的前n项和(1)123n；(2)2462nn2n；(3)135(2n1)n2；(4)1222n2.2常见的裂项公式(1)若an各项都是不为0的等差数列，公差为d(d0)，则()；(2)()；(3). 热身练习1数列1，3，5，7，(2n1)的前n项和是(B)A1n2()n1 B1n2()nC1n2()n1 D1n22n 1357(2n1)1357(2n1)()n21()n.2若数列an的通
3、项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10(A)A15 B12C12 D15 因为an(1)n(3n2)，则a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.3求和Sn(). 因为()，所以原式(1)()()()(1)()4sin21sin22sin23sin288sin289. 设Ssin21sin22sin288sin289，则Ssin289sin288sin22sin21上述两式相加得2S189，所以S.5化简和式：1224n2n(n1)2n12. 令Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn2122232nn2n1n2
4、n12n12n2n1.所以Sn(n1)2n12. 分组求和与并项求和(2016北京卷)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和 (1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2. (1)数列求和，要注意通项的分析，根据通项
5、的特点灵活选择方法本题通项cn可表示为anbn的形式，其中an是等差数列，bn是等差数列，故可采取拆项求和的方法(2)“拆项”和“并项”方式不同，但目的都是为了转化，通过“拆”和“并”的手段，将不可直接求和的数列问题转化为可求和的数列来处理1若Sn122232(1)nn2(nN*)，求Sn. 当n为偶数时，Sn122232(n1)2n2(2212)(4232)n2(n1)237(2n1).当n为奇数时，SnSn1ann2.综上，可知Sn(1)n. 裂项求和法(经典真题)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和 (1)设an的公差为d，则S
6、nna1.由已知可得解得故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知()，从而数列的前n项和为(). (1)本题考查了等差数列的基本量及其关系，考查了裂项求和的基本方法(2)利用裂项求和法时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，要根据通项的特点来确定2(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和 (1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，所以an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知，则
7、Sn. 错位相减法求和(经典真题)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和 (1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1，所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn()(1)1.所以Sn2. (1)本题考查了等差数列的通项公式及错位相减法求和的基本方法，考查运算求解能力(2)一般地，若an是等差数列，bn是等比数列，则求数列anbn的前n项和可采用错位相减法3(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列
8、，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn. (1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上两式联立方程组解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn()1，所以Tn5.1数列求和的基本思想是“转化”，其一是转化为基本数列(如等差、等比数列)的求和或其他可求和的数列；其二是通过消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和到底如何进行转化，关键是在分析数列通项及其和式的构成规律，根据其特点转化为基本数列求和，或分解为基本数列求和2对于一般的数列求和无通法可循，能求和的是几类特殊的数列，其常用的方法有分组求和法、并项求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项求和法等，要注意分析总结这几种方法的适用类型3对通项中含有(1)n或奇数项、偶数项由等差(等比)数列构成的数列，求前n项和时，注意根据n的奇偶性进行讨论，转化为基本数列求和
