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1、定义及一般形式:,只含有一个未知数,未知数的最高次数是_的_式方程,叫做一元二次方程。 一般形式:_,二次,整,ax2+bx+c=o (ao),练习一,一、与一元二次方程定义有关的题目： 1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？,（1）4x - x + 2 =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （a、b、c 为常数） （4）x + =0,2、已知关于x的方程 （m-1）x+（m-2）x-2m+1=0， 当m 时是一元二次方程， 当m= 时是一元一次方程。,3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：_, 其二次项系数是_,一次项系数是_,常数项是_.
2、 4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ） A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2,2x2-3x-1=0,2,-3,-1,C,(1)直接开平方法,(2)配方法,(3)公式法,(4)因式分解法,解一元二次方程的方法有几种?,例:解下列方程,、用直接开平方法：(x+2)2= 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0,解:两边开平方,得: x+2= 3 x=-23 x1=1, x2=-5,右边开平方后，根号前取“”。,两边加上相等项“1”。, 二次项系数化为1； 移常数项到右边； 两边同时加上一次项系数一半的平方； 化直接开平方形式; 解方程。,步骤归纳
3、,配方法步骤,解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 =,解:原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 y1=-2 y2=1,先变为一般形式，代入时注意符号。,把y+2看作一个未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=0形式。,3、用公式法解方程 3x2=4x+7,4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）,-1, 先化为一般形式； 再确定a、b、c,求b2-4ac； 当 b2-4ac 0时,代入公式:,步骤归纳
4、,若b2-4ac0,方程没有实数根。,公式法步骤,右边化为0,左边化成两个因式的积； 分别令两个因式为0，求解。,步骤归纳,分解因式法步骤,选用适当方法解下列一元二次方程,1、 (2x+1)2=64 ( 法） 2、 (x-2)2-(x+)2=0 ( 法） 3、(x-)2 -(4-x)= ( 法） 4、 x-x-10= ( 法） 5、 x-x-= ( 法） 6、 xx-1=0 ( 法） 7、 x -x-= ( 法） 8、 y2- y-1=0 ( 法）,小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 分解因式法 配方法 公式法,分解因式,分解因式,配方,公式,配方,公式,公式,直接开平方,练习三,典型例题
5、： (1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0; (3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0; (5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0; (7)x2+px+q=0 (p2-4q0)；,解方程: (x+1)(x+2)=6 2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。,中考直击,思考,一元二次方程根的判别式,两不相等实根,两相等实根,无实根,一元二次方程,一元二次方程 根的判式是:,判别式的情况,根的情况,定理与逆定理,两个不相等实根,两个相等实根,无实根(无解),二、,判别式的应用:,所以，原方程有两个不相等的实根。,说明
6、：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。,1、不解方程，判别方程的根的情况,例2：当k取什么值时，已知关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,解：=,(1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即,(2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即,(3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 0 , 即,2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围,说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出，再由题目给出的根的情况确
7、定的情况。从而求出待定系数的取值范围,K,3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。,解：,方程有两个不相等的实数根,题目解好了吗？,知识运用,例,：是否存在k，使方程,有两个相等的实数根？若存在，求 出k的值；若不存在，请说明理由。,解：,a=(k-1) b=-（k+2) c=4,方程有两个相等的实数根,即,一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）,1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 b2-4ac0时，才能应用根与
8、系关系. 3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.,补充规律：,两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。,当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：,0,0,0,0,0,设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ X1X2 = _， X12+X22 = ； ( X1-X2)2 = ；,基础练习,拓广探索,当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+
9、x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,例题回顾： 例1：如果 是
10、方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.,根与系数的关系练习 一、填空： 1、已知方程 的两根是 ,则 ， = 。,2、已知方程 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的 值是 .,.,3、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则 p=_;若两根互为倒数，则q=_,4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 1 、3 ，则 b= ，c= .,3,1,-2,1,0,1,-4,-6,5.已知方程3x2+2x-6 = 0 ,则它的两根的倒数和 为 .,6.已知方程x2-bx+22=0的一根为5- , 则另一根 为 ,b= .,返回,10,
11、二、选择 1、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为 ( ) A B C D,2、两根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0,A,D,三、解答题： 1、已知关于x的方程 ( a2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个 实数根互为倒数，求a的值. 2、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根 为1与3；小王看错了q，解得方程的根为4与2。这个 方程的根应该是什么?,1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数
12、，用未知数的代数式表示未知量。 3. 根据题中的等量关系列出方程。 4. 解方程得出方程的解。 5. 检验看方程的解是否符合题意。 6. 作答注意单位。,列方程解应用题的解题过程。,一元二次方程的应用,数字,一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。,解:设十位上的数位X,则个位上的数为,一 二 三 四 五 六 日, ,X-1,X,X+1,X-7,X,X+7,X+7,X+8,X,X+1,X,X+7,X-7,X-8,X-6,X-1,X+1,X+8,X+6,例1.(中考） 某工厂计划在两年内把产量翻一番，如果每年比上年
13、提高的百分数相同，求这个百分数（精确到1%）,增长率问题,解：设这个百分数为x,根据题意得,解答略,典型题: 某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是x，则经过一年木材存量达到 ，经过两年木材存量达到 .,返回,利润问题,某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?,解题过程,分析：个利润销售量=总利润,解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20x)(10+x)=6000 整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得
