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1、数字图像处理与分析 第五章 图像变换,青岛科技大学自动化与电子工程学院,第5章,第5章 图像变换,为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间中，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的处理效果。 变换是双向的，或者说需要双向的变换。在图像处理中，一般将从图像空间向其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换。,第5章,第5章 图像变换,5.1 傅里叶变换 5.2 沃尔什和哈达码变换 5.3 离散余弦变换 5.4 霍特林变换,第5章,5.1 傅里叶变换,可分离和对称变换 2
2、-D图像的正变换 2-D图像的反变换 h(x, y, u, v)为正变换核，k(x, y, u, v)为反变换核,第5章,5.1 傅里叶变换,可分离和对称变换 可分离变换中的变换核是可分离的 对称变换中的变换核是对称的 具有可分离变换核的2-D变换可分成两个步骤来计算，每个步骤使用一个1-D变换。,第5章,5.1 傅里叶变换,可分离和对称变换 首先沿f(x, y)的每一列进行1-D变换 然后沿T(x, v)的每一行进行1-D变换,第5章,5.1 傅里叶变换,矩阵形式的变换表示 如果变换核是可分离的和对称的函数时，变换可用矩阵形式表示。以正变换为例 两边分别前后各乘一个反变换矩阵 如果B = A
3、1,1D-DFT 矩阵形式的变换表示,第5章,5.1 傅里叶变换,2-D傅里叶变换,注意：傅里叶变换FT DFT FFT,F(u,v),傅氏谱,相位,能量谱,计算傅里叶变换,例题：计算1-D1，1，2，2 序列的傅里叶变换。,傅里叶变换,计算2-D函数,的傅里叶变换。,例题：计算如下2-D函数的 FFT,空间位移 xx0, yy0,幅值不变|F(u,v)| 相位变化 -2(ux0+vy0)/N,坐标中心点的位置,移中性,移中的变换：,移中的变换：,能量分布于四角（示意图）,能量集中于中心（示意图）,原图像 f（x，y）,平移性质 平移性 f(x,y) (-1)x+y F(u-N/2,v-N/2
4、),移中性,频域图像（幅度谱）,原图像,平移性 |F(u,v)expj2(ux0+vy0)/N|=|F(u,v)|,图像平移不影响幅度谱,f(m,n)、F(u,v)都是以N为周期的离散函数,共轭对称性,F (0, 0)置于谱方阵的中心，其余各行各列的谱对中心都是共轭对称的。DFT变换只需求半个周期内的值便可得到整个周期值 。,旋转性质,尺度变化(相似性),正方形收缩导致其傅立叶频谱网格在频谱空间的增大，并且幅度减小,图像 f(x,y)的功率谱|F(u,v)|2=F(u,v)F*(u,v),例如： 具有精细和细微结构的图像，其高频分量较丰富 近距离目标图像，其低频分量较丰富,图像 f(x,y)的
5、功率谱|F(u,v)|2=F(u,v)F*(u,v),高频分量,低频分量,图像灰度分布,结论：相位谱具有更重要的应用,傅立叶,法国数学家及物理学家。 最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。 傅立叶级数（三角级数）创始人。,（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830）,原图,FT,F(0,0),图像平均亮度,能量分布集中在低频区,灰度变化平缓低频分量 灰度变化突变高频分量,功率谱 |F(u,v)|2=F(u,v)F*(u,v),85%,突变：边缘、轮廓、噪音,应用,空域频域的转换，简化卷积运算。,空域频域的转换，简化相关运算。,傅立叶变换注意的问
6、题： 两个缺点： (1)要进行复数运算，计算比较费时 实用中还采用如沃尔什(Walsh)变换等。 (2)很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚。 解决方法：,举例,第5章,5.2 沃尔什和哈达玛变换,沃尔什变换(Walsh)和哈达玛变换(Hadamard)是两种密切相关但又有所不同的变换。它们都是可分离和对称变换。进行沃尔什变换和哈达玛变换只需要做加减法，计算复杂度低，所以曾经得到过广泛的应用。与FT比较，二者缺乏明确的物理意义和比较直观的解释。,第5章,5.2 沃尔什和哈达玛变换,沃尔什变换 1-D沃尔什变换 沃尔什变换有一个特殊的变换核 离散沃尔什变换,第5章,5.2 沃尔什和哈达玛变换
7、,沃尔什变换 2-D沃尔什变换 变换核 变换,第5章,5.2 沃尔什和哈达玛变换,哈达玛变换 1-D哈达玛变换 正反变换核只差一个常数1/N 离散哈达玛变换,第5章,5.2 沃尔什和哈达玛变换,哈达玛变换 2-D哈达玛什变换 变换核 变换,第5章,5.2 沃尔什和哈达玛变换,两种变换的联系 哈达玛矩阵是由1和1组成的，行和列正交的矩阵。最小阶（N = 2）的哈达玛矩阵是 哈达玛变换矩阵可以通过迭代方便地获得,5.3 离散余弦变换,离散余弦变换是实值变换，它广泛应用于语音和图像的压缩。,一维,原数据序列,奇对称偶函数,偶对称偶函数,公式说明,扩展成周期函数，以2N为周期。,且,构造偶对称偶函数,
8、对02N-1这2N个点做DFT。,令,带回原式,偶对称偶函数,第5章,5.3 离散余弦变换,变换定义：一维 a(u)为归一化加权系数,第5章,5.3 离散余弦变换,变换定义：二维,大部分能量在低频部分,第5章,5.3 离散余弦变换,变换计算 对离散余弦变换的计算可借助离散傅里叶变换的实部计算来进行。以1-D为例，可以写出： 其中g(x)表示对f(x)的如下重排：,DCT矩阵的左上角代表低频分量，右下角代表高频分量。 由DCT域图像我们能够了解图像主要包含低频成份。,图像的傅里叶变换是使用最广泛的一种变换，在图像处理中起着关键的作用，也是理解其他变换的基础，它可广泛地用于图像特征提取、图像增强等
9、方面。在图像增强方面虽有着广泛地应用，但由于运算过程中涉及复数运算，所以在实时系统中很难使用。而离散余弦变换在图像压缩算法中获得了广泛的应用。把傅里叶变换的理论同其物理解释相结合，将有助于解决大多数图像处理问题。,第5章,5.4 霍特林变换,霍特林变换是一种与FT、Walsh、Hadamard、DCT都很不相同的变换，是基于图像统计特性的变换。能将离散图像变换为一系列不相关系数，可直接用于对数字图像进行变换。它在连续域的对应变换是KLT。KLT变换能将连续图像变换为一些列不相关系数。霍特林变换也常称为特征值变换、主分量变换、主元变换或离散KLT变换，近年在人脸识别等方面得到广泛应用。 霍特林变
10、换是图像模式识别中得到广泛应用的主分量分析（PCA）的基础。,第5章,5.4 霍特林变换,变换的计算 M个N阶矢量,第5章,5.4 霍特林变换,变换的计算 Cx是N N 阶实对称矩阵 Cii是各矢量的第i个分量 组成的矢量xi的方差 Cij是矢量xi和矢量xj 之间的协方差,第5章,5.4 霍特林变换,变换的计算 变换基本步骤 (1) 选3个以上点的坐标构成一组矢量 x (2) 计算x的均值矢量mx和协方差矩阵Cx (3) 计算 Cx 的特征值，获得特征矢量矩阵A (4) 霍特林变换：用A乘以原始矢量和均值 矢量的差 y： 均值为零,第5章,5.4 霍特林变换,变换的特点 用霍特林变换将x映射到y实际上是建立了一个新的坐标系，其坐标轴在Cx的特征矢量方向上。 变换是一个将物体主轴沿特征矢量对齐的旋转变换。,第5章,5.4 霍特林变换,变换的特点 近似重建（在均方误差意义下最优） 从 y 重建 x ： A的各行都是正交归一化矢量，A1 = AT 近似重建： 均方误差：,本 章 结 束,
