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1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 1 页 共 15 页拟合及插值问题研究作者：王成龙 指导老师：汪志华摘 要 本文讨论 了插值函数的基本概念及 线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次样条插值.曲线拟合及基于最小二乘拟合的多项式插值和正交多项式插值.关键词 拉格朗日插值 牛顿插值 曲线拟合 最小二乘法1 引 言 函数常被用来描述客观事物变化的内在规律（数量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,
2、近似代替原来的函数.解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点 ,选定),210(),(nixfi 一个便于计算的函数形式 ,如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求)(xp简单函数 满足 .由此确定函数 作为 的近似)(xp),210nifi )(xp)(f函数,这就是插值方法.令一类方法在选定近似函数 的形式时,不要近似函数 必须(xpx满足 ,而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数),210(),(nixfi 在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.)xp2 插值问题与插值多项式定义 1 设 为区间 上函数， 为 上 互不相同的点，)(xfy,banx,
3、10 ,ba1为给定的某一函数类，若 上有函数 ，满足)(x.ifi ,2,则称 为 关于节点 在 上的插值函数，称点 为插值节)(xf nx,10 nx,10点；称 为插值型值点，简称型值点或插值点; 称为被插函数.ii ,2, )(f定义 2 已知函数 在区间 上的 个点的值，即已知 ，寻求一个)(xfba1,baxi解析形式的函数 ，使之满足.,)(iiyxn,20安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 2 页 共 15 页则称 为插值结点, 为被插值函数， 为插值函数，称条件ix)(xf )(xiiyx)(为插值条件，若 为次数不超过 的多项式，即 ，则210(n np
4、n.n xaxap210)(其中 为实数，则称 为插值多项式.),(ia定理 1 在 个相异结点 满足插值条件 而n),(nix ),10()niyxpi 次数不高于 的多项式 是唯一的.)p2.1 拉格朗日插值多项式给定 ，构造次数不超过 的拉格朗日插值多项式),10)(,niyxin.i iij ijiin xfxflL00)(称 为 关于 的 次拉格朗日插值多项式，它满足)(xLnfnx,10.nixfLi ,1),(其中 称为 为结点的 次插值函数，它满足)(xli nx,10 njilijji ,10,)( .)()()()( 1110 nixiiiiii xxl 设 是 上关于 的
5、 次插值多项式， 在 上有xLn,ba,nyixf,ba阶连续导数， 在 上存在，则其余项为)(1fn,.niinnn baxfxLfxR0)1( ,),(!例 1 已知函数表x0 0.5 1 1.5 2 2.5)(f-1 -0.75 0 1.25 3 2.25试证明由此构造的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式.解 构造 ，得)3,2(01),()(2xL安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 3 页 共 15 页3)12(0)1(20)()(2 xxxL2将其余结点代入 得)(2xL 25.)(,25.1)(,75.0. 32L可知 满足所有插值条件.根据唯一性定理， 就是所
6、构造的拉1)(22x 1x格朗日插值多项式.2.2 牛顿插值定义 3 零阶均差 )(iixff一阶均差 .jijiji xfffxf ),(,二阶均差 .kijjkji xfff,2 阶均差是 1 阶均差的均差，可递推 阶均差，得.kii kiikikii xxffxf , 21111 2.2.1 均差（差商）的性质（） 阶均差与函数值的关系为k.njjiijkxfxf010 )(,（）均差关于所含结点是对称的，若 为 的任意排列，则ki,10 , ,1010 kiikxfxf 即均差值与结点次序无关.2.2.2 牛顿插值多项式给定 ，次数不超过 的牛顿插值多项式为),10)(,niyxin)
7、(,( 102100 xxfxffNn 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 4 页 共 15 页.)()(, 11010 nn xxxf 牛顿插值多项式 的系数可由以下均差表求得.)(Nnxif,jixf ,kjixf,0nxfnx3210nyffy3210,1321nxff ,123210nnxff,0nf2.2.3 插值余项.niin xxfxR010)(,)(由插值多项式的唯一性知 ，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项NLnn表达式，即 niinnn xfxfxR0)1( )(!)(iinbaf00 ,),(,由此有 .)!1(,0fxfn例 2 已知函数表如下
8、.x0 0.2 0.4 0.6 0.8)(f0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461试求方程 的根的近似值.45f解 采用牛顿插值，作均差表如下： )(ixfix一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0.19950.39650.58810.77210.946100.20.40.60.80.0152281.0438411.0869571.1494250.0736310.1147920.1744920.0718840.1086240.049209安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 5 页 共 15 页按 4 次牛顿插值公式可得 )195.04.(01
9、528.x )3965.04.(736).(.)1.(092)58140( 72045)84.(36. .22.2.4 等距结点的牛顿插值若插值结点为等距结点，即 ， 称为步长，),10(0nihxi h表示 在 上的值，则有等距结点的牛顿插值公式 .),10)(nixfi fi定义 4 令 分别称为 在点 的一阶向前差分和一阶向11,iiiiii fff fix后差分。由此可递推 阶向前差分和 阶向后差分为n.1111, niniiini fffff并规定零阶差分为 iii0均差与差分有以下关系，即.nmfhxf imii ,32,1!1,1 .iiii 差分表 if)()(2)(33210
10、ff)(3210ff)(3210f20f2.2.5 牛顿前插、后插插值公式及其余项牛顿前插公式为安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 6 页 共 15 页.00200 !)1()!)1()( fnttftftthxN nn 其余项为 )()(0tfRnn.),(,)!1( 01nnxfht 牛顿后插公式为.nnnn fnttftfttxN !)1()!2)()( 其余项为 )()(thfRnn.),(),)!1( 01( nnxft 例 3 设 ，给出 在 的值，试用 305.,.0hxf)6,10(,0ihi次等距结点插值公式求 及 的近似值.)(f)281(解 前插公式
11、00200 !)1()!)( fnttftftthxN nn )51.(1.).1(33hf )059.)(12.247.405.)(.).0(6后插公式 nnnn fnttftftthxN !)1()!21)( )4.03.1(28.).1(3 hf 03.61.)40(61)05.(6.)(2.)40(7. .13.2.3 埃尔米特插值多项式插值多项式除了满足插值条件外，还要求与被插函数在结点处的导数值相等，即有.nimxHyxiii ,10,)(,)( 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 7 页 共 15 页上面等式共有 个条件可唯一确定次数不超过 次的多项式 ，称之
12、为埃2n12n)(12xHn米尔特插值多项式，它用插值基函数可表示为 ni iin xmyxH012 )()()(其中， 和 是插值基函数.i,i2.3.1 插值基函数和 是满足下列条件)(xiiijjiji jijjix)(,0)( n,10,的 次多项式.12n容易求得 nijiji xlxx02)(1)(21)()()2lii其中， 是拉格朗日插值基函数.)(xli若 在插值区间 内存在 阶导数，则 次艾尔米特插值多项式f),(ba2n1n的余项为)(12xHn ),(),)!2()( 112 baxnfxHfxRnn 其中 )()()(101 nn 特别地，当 时，结点为 满足条件1n
13、0,x,0)(,)( iymHyiiii的艾尔米特插值多项式为 2100103 )(2()( xxxx 201101 )()(yy安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 8 页 共 15 页.),(,)(!4)( 102120( xxxfxR例 4 求 在 上的分段 3 次埃尔米特插值函数 ，并估计误差.4)(xf,baIh解 令 ，分点nhnihxi ,10,当 时，有,1ikx 2142114 )()()(2() kkkkkkK xxxxI ,0,)()( 2131213 nx kkkkkk 误差估计.16)2()(max!4)(ax)( 4213 1 hxfRkkbk2.
14、4 三次样条插值定义 5 设在 上取 个互不相同的结点，即,anbxxan10给定各结点上的函数值 ，如果函数 在区间 上满足下列),()iyxfi )(s,ba条件，则称之为三次样条插值函数，简称三次样条： ， ；iiyxs)(n,10在每个小区间 上， 都是次数不超过三次的多项式 ；,ix)(s )(xsi .,)(2baCxs2.4.1 三次样条插值函数的计算.由给定的数据 ,步长 ,求出)(iyxih, .1iii)(611iiii hyy由追赶法解三对角方程组（三弯矩方程组） ，当自然边界条件 时，有010m安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 9 页 共 15 页2)1(2)1()(233naa 1101321nnm当边界条件为 时，有0 )(,)(nyxsyxsnnmaa 10111 2)(2)(其中 )(6),(61010 nnhyyh由求出 代入 式，即imiT)(6()(6)(6)( 13131 xhmyxhxhxs iiiiiiii )(1i
