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1、数列中的奇偶分析法问题数列奇偶求通项公式：【典例1】数列满足4n3(n)，当2时，则数列的通项公式为_解析：由4n3(n)，得4n1(n)两式相减，得4所以数列是首项为，公差为4的等差数列数列是首项为，公差为4的等差数列由1，2，得1所以(kZ)数列奇偶求前N项和：【典例2】已知数列的通项，求其前项和【解析】奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，练习1：已知则数列的前项和_【解析】设则 故此时设n2m1(mN*)，则,故此时, 2（扬州市20152016学年度第一学期期
2、末检测试题20）若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.（1）已知，且，写出、；（2）已知，且，求的前项和；【解析】（1），则 ；，则， ，则， （2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则； 为偶数时，则；为奇数时，则； 3.（2017镇江一模19）已知，数列的各项均为正数，前项和为，且，设（1）若数列是公比为的等比数列，求；（2）若对任意，恒成立，求数列的通项公式；（3）若，数列也为等比数列，求数列的通项公式解：（1）， .（2）当时，由， 则， ，故，或.（*） 下面证明对任意的N*恒不成立. 事实上，因，则不恒成立；若存在N*，使，设是满足
3、上式最小的正整数，即，显然，且，则，则由（*）式知，则，矛盾. 故对任意的N*恒不成立，所以对任意的N*恒成立. 因此是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. （3）因数列为等比数列，设公比为，则当 时，.即，是分别是以1，2为首项，公比为的等比数列； 故，. 令，有，则. 当时，此时.综上所述，. 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知正项数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若对于 ，都有成立，求实数取值范围；（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列（1）当时，故；当时，所以，即，又，所以，所
4、以，故（2）当为奇数时，由得，恒成立，令，则，所以当为偶数时，由得，恒成立，所以又，所以实数的取值范围是（3）当时，若为奇数，则，所以解法1：令等比数列的公比，则设，因为，所以，因为为正整数，所以数列是数列中包含的无穷等比数列，因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列有无数个解法2：设，所以公比因为等比数列的各项为整数，所以为整数，取，则，故，由得，而当时，即，又因为，都是正整数，所以也都是正整数，所以数列是数列中包含的无穷等比数列，因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列有无数个5、（盐城市2017届高三上学期期中）若数列中的项都满足（），则称
5、为“阶梯数列”.（1）设数列是“阶梯数列”，且，（），求；（2）设数列是“阶梯数列”，其前项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列是“阶梯数列”，且，（），记数列的前项和为. 问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1），是以为首项为公比的等比数列，数列是“阶梯数列”，. （2）由数列是“阶梯数列”得，故,中存在连续三项成等差数列； （注：给出具体三项也可） 假设中存在连续四项成等差数列，则，即，当时, ，当时, ，由数列是“阶梯数列”得，与都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列. （3）
6、,是以为首项为公差的等差数列，又数列是“阶梯数列”，故，, 当时,又恒成立，恒成立, . 当时,又恒成立，恒成立, . 综上, 存在满足条件的实数，其取值范围是. n为正偶数，n为正奇数.注：也可写成6（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试20)已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an(1)nSn pn(p为常数，p0) （1）求p的值； （2）求数列an的通项公式；（3）设集合Ana2n1，a2n，且bn，cnAn，记数列nbn，ncn的前n项和分别为Pn，Qn若b1c1，求证：对任意nN*，PnQn12解：（1）由a1S1p，得a1由a2S2p2，得a1p2，所以p2又p0，所以p （2）由an(1)nSn()n，得得anan1(1)n(an1)()n 当n为奇数时，anan1an1()n，所以an()n1 当n为偶数时，anan1an1()n，所以an2an1()n2()n2()n()n，所以an （3）An，由于b1c1，则b1 与c1一正一负，不妨设b10，则b1，c1 则Pnb12b23b3nbn(+) 设S+，则S+，两式相减得S+所以S，所以Pn(+)0因为Qn= c12 c 23 c 3n c nS 0，所以PnQn 第 10 页 共 10 页
