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1、2019年量子力学期末考试题解答题 篇一：量子力学期末考试题解答题 1.你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果
2、，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2.什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率?0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有
3、关，而与光强无关；c.当入射光频率?0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果?1和?2是体系的可能
4、状态，那么它们的线性叠加：?c1?1?c2?2（c1，c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态?1和?2的线性叠加态?时，粒子是既处于态?1，又处于态?2。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4.什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数?r，t?r?exp?iEt?所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）
5、取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5.简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的?由经典表示式F?而得出的，即：（r,p）算符F中将p换为算符p ?）=F?表示力学量F，那么?F?r,p?r,-i?）。量子力学中的一个基本假定：如果算符FF（ ?的本征态?时，力学量F有确定值，这个值就是F?在?中的本征值。当体系处于F 6.经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？ 答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述
6、微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变； 7.能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。 答：不一定，如果?1，?2对应的能量本征值相等，则?c1?1?c2?2还是能量的本征态，否则，如果?1，?2对应的能量本征值不相等，则?c1?1?c2?2不是能量的本征态 8.什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？ 答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象
7、。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。 9.简述量子力学的五个基本假设。 答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量p换为算符?i?得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数?用 ?的本征函数展开?算符F（Fm?）?m?m，F?：?cm?m?c?d?，则在?态 m 2中测量力学量F得到结果为?m的几率
8、为cm 2，得到结果在?d?范围内的几率是c?d?；（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程：i?，H?是体系的哈密顿算符。?H?t（5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 10.波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于1。因而粒子在整个空间中出现的概率即2对整个空间的积分应该等于1.即?x,y,z,t?d?1式中积分表示对整2 个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。
9、波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。 11.量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象？ 答：所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。 12.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？ ?的方程F?答：含有算符Fm?的本质方程，F为F?的一个本质值。?而?m则为F?Fm?m称为Fm 的属于本征值Fm的本征函
10、数。如果算符多代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体 ?的本征态?时，测量F的数值时确定的，恒等于F。当体系处于任意态时，单次测系处于Fmm 量F的值必等于它的本征值之一。 13.算符运算与一般代数运算有什么异同之处？ 答：（1）相同点:都满足加法运算中的加法交换律和加法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一 ?；b.算符乘积定义FGE?GF?般不满足代数乘法运算的交换律，即FG 运算次序由后至前，不能随意变换。?E?G?，?F? 14.什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？ 答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定?U?0，则体系可以处于?t 定
11、态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非束缚态。 15.（1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3）归一化波函数是否可以含有任意相因子e（?是实常数）？（4）已知F为一个算符，当F满足如下的两式时，a
12、.F?F,b.F?F,问何为厄米算符，何为幺正算符？（5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？ 答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2）不改变；根据Born对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为 2i?1?ei?1，如果2对整个空间积分等于1，则ei?对整个空间积分也等于1.即用任意相因子ei?（?是实常数）去乘以波函数，既不影响体
13、系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）满足关系式a的为厄密算符，满足关系式b的为幺正算符；（5）证明：以?表示F的本征值，?表示所属的2 ?本征函数，则F 即?为实数。?于是有?dx?dx，由此可得?，?因为F是厄密算符， 16.薛定谔方程应该满足哪些条件？ 答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果?1和 ?2都是方程的姐，那么?1和?2的线性叠加?c1?1?c2?2也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果?1和?2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：?c1?1?c2?2（c1，c2是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3）这个方程的系数不
14、应该包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。 17.量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？ 答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。 18.简述力学量算符的性质？ 答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即?m?nd?mn；（3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成一完备集，即?x?cn?n?x?。 n 19.在什么情况下两个算符相互对易？ ?有一组共同本征函数?，而且?组成完全系，则算符F?对易。?和G?和G答：如果两个算符Fmm 20.请写出测不准关系? ?，则测不准关系式为：?F?ik?的对易关系为：?F?，G?和G?答：设算符F?2?G2 ?的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数。?和G如果k
