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1、实验2 利用DFT分析信号频谱姓名：明眸皓齿王师傅班级：*学号：*实验时间：第十二周周三下午第二大节1一实验目的1、 加深对 DFT 原理的理解。2、 应用 DFT 分析信号的频谱。3、 深刻理解利用 DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。二实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境三实验原理1. DFT 与 DTFT 的关系有限长序列 的离散时间傅里叶变换 在频率区间()01)xnN()jXe的 N 个等间隔分布的点 上的 N 个取样值可(022/(01kNk以由下式表示： 212/0()()()jknj NkNXexeX由上式可知，序列 的 N 点 DFT ，实
2、际上就是 序列的 DTFT 在 N 个n()xn等间隔频率点 上样本 。2/(1)kkk2. 利用 DFT 求 DTFT方法 1：由 恢复出 的方法如图 2.1 所示：()Xk()je() () ()jkxnXeIDFTTF 由图 2.1 所示流程可知： 10()()()Nj jn knjNk nkXexeWe 由式 2-2 可以得到 12()()NjkxeX其中 为内插函数12sin(/)() NjeNA方法 2：然而在实际 MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。由于 DFT 是 DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为 ，所以如果我/N们增加数据的长度 N，使得到的
3、 DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近 DTFT 的结果，这样就可以利用 DFT 来近似计算 DTFT。如果没有更多数据，可以通过补零来2增加数据长度。3. 利用 DFT 分析连续时间信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续时间信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。对于连续时间非周期信号 ，按采样间隔 T 进行采样，截取长度 M，那么()axt10() ()Mjt jntaaanXjedxe对 进行 N 点频域采样，得到aj 2120()()()MjknNa aMknNTjxTeX因此，可以将利用 DFT 分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下：（1） 确定
4、时域采样间隔 T，得到离散序列 ；()xn（2） 确定截取长度 M，得到 M 点离散序列 ，这里()Mww(n)为窗口函数。（3） 确定频域采样点数 N，要求 。（4） 利用 FFT 计算离散序列的 N 点 DFT，得到 ；()MXk（5） 根据式(2-6)由 计算 采样点的近似值。()MXk()aj四 实验内容1.已知 ，完成如下要求：()2,1xn（1）计算其 DTFT，并画出 区间的波形。,（2）计算 4 点 DFT，并把结果显示在（1）所画图形中。（3）对 补零，计算 64 点 DFT，并显示结果。()xn（4）根据实验结果，分析是否可以由 DFT 计算 DTFT，如果可以，如何实现。
5、（1）代码：x=2,-1,1,1n=0:3w=-pi:0.01*pi:piX=x*exp(-j*n*w)subplot(2,1,1)plot(w,abs(X)xlabel(Omega/pi)title(Magnitude)3axis tightsubplot(2,1,2)plot(w,angle(X)/pi)xlabel(Omega/pi)title(Phase)axis tight（2 ）代码：x=2,-1,1,1n=0:3w=-pi:0.01*pi:piX=x*exp(-j*n*w)subplot(2,1,1)plot(w,abs(X)xlabel(Omega/pi)title(Magni
6、tude)axis tightsubplot(2,1,2)plot(w,angle(X)/pi)xlabel(Omega/pi)title(Phase)axis tighty=fft(x)subplot(2,1,1)hold onstem(0:3,abs(y),fill)title(Magnitude)subplot(2,1,2)hold on stem(0:3,angle(y)/pi,fill)4ylabel(/pi)title(Phase)（3 ）代码：x=2,-1,1,1x=x,zeros(1,60)y=fft(x,64)subplot(2,1,1)stem(0:63,abs(y),fi
7、ll)title(Magnitude)axis tightsubplot(2,1,2)stem(0:63,angle(y)/pi,fill)xlabel(Omega/pi)ylabel(/pi)title(Phase)5（4 ）由 DFT 可以计算出 DTFT。从上面几个图中我们可以看出， DFT 可以看作是 DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为 ，所以如果我们增加数据的长度 N（即2/N减小点与点之间的间距） ，得到的 DFT 谱线就更加精细，其包络也就越接近 DTFT 的结果，这样就可以利用 DFT 来近似计算 DTFT。2.考察序列 ()cos0.48)cos(0.52)xnn
8、n（1） ，用DFT估计 的频谱；将 补零加长到长度为 100点序列用0x(xDFT估计 的频谱。要求画出相应波形。()x（2） 时，用DFT 估计 的频谱，并画出波形。n()xn（3）根据实验结果，分析怎样提高频谱分辨率。（1）代码：n=0:10x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)y=fft(x)subplot(2,1,1)stem(0:10,abs(y),fill)title(Magnitude)subplot(2,1,2)stem(0:10,angle(y)/pi,fill)xlabel(Omega/pi)ylabel(/pi)title(Phase)6补零代码
9、：n=0:10x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)x=x,zeros(1,89)y=fft(x)subplot(2,1,1)stem(0:99,abs(y),fill)title(Magnitude)subplot(2,1,2)stem(0:99,angle(y)/pi,fill)xlabel(Omega/pi)ylabel(/pi)title(Phase)7（2 ）代码：n=0:100x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)y=fft(x)subplot(2,1,1)stem(0:100,abs(y),fill)title(Magnitude)
10、subplot(2,1,2)stem(0:100,angle(y)/pi,fill)xlabel(Omega/pi)ylabel(/pi)title(Phase)（3 ）通过补零不能提高分辨力，但能提高分辨率。从上述结果，我们可以发现使用 DFT 计算频谱，得到的结果只是 N 个频谱样本值，样本值之间的频谱是未知的，像通过一个栅栏观察频谱，称为“栅栏效应” 。由 知，1pFt频谱分辨率与纪录长度成反比，所以要提高频谱分辨率，就要增加记录时间。故可以通过补零提高频谱分辨率。对于分辨力，可以通过增加取样密度（减小取样间隔）提高频谱分辨力。3.已知信号 其中123()0.5sin(2)si()0.1
11、sin(),xtftftft=1Hz， =2Hz， =3Hz。从 的表达式可以看出，它包含三个频率的正弦波，1f2f3fx但是，从其时域波形来看，似乎是一个正弦信号，利用DFT做频谱分析，确定适合的参数，使得到的频谱的频率分辨率符合需要。8（1 ） N=50,tp=0.1s 时t=0:0.01:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,100) n=0:99stem(n,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight不符合要求（2 ） N=50,tp
12、=0.5s 时：t=0:0.5:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,50) n=0:49stem(n,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight9不符合要求（3 ） N=50,tp=0.01s 时t=0:0.01:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,50) n=0:49stem(n,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(M
13、agnitude)axis tighttp 符合要求，但是只有 4 个冲击点，应该有 6 个，故应增大 N。（4 ） N=100,tp=0.01s10t=0:0.01:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,100) n=0:99stem(n,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight此时 DFT 的包络形状已经很接近 DTFT 了。故取 N=100,tp=0.01s4. 利用DFT近似分析连续时间信号 的频谱。分析采用不同的采样间0.1()(
14、)txteu隔和截取长度进行计算的结果，并最终确定适合的参数。（1 ） tp=1s,N=10t=0:10x=exp(-0.1*t)X=fft(x,11)stem(t,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight11（2 ） tp=1s,N=100t=0:0.1:10x=exp(-0.1*t)X=fft(x,101)stem(t,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight（3 ） tp=0.1s,N=100t=0:0.1:10x=exp(-0.1*t)X=ff
15、t(x,101)stem(t,abs(X),filled)12xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight（4 ） tp=0.1s,N=1000t=0:0.1:100x=exp(-0.1*t)X=fft(x,1001)stem(t,abs(X),filled)xlabel(Omega/Hz)title(Magnitude)axis tight可以看出 tp=0.1s,N=1000 时， DFT 包络已经很接近 DTFT 结果了。分析：从上面几个图我们可以看出，取样间隔越小，即采样点数越多，得到信号的频谱分辨力就越强；增加数据的长度 N，得到的 DFT 谱线就越精细，其包络就越接近13DTFT 的结果。因此，应该缩小取样间隔 T，增加数据的长度 N。五 心得与体会通过本次实验，加深了我对于利用 DFT 分析信号频谱的原理的理解，通过分析实现过程中出现
