《【2017年整理】第三章 多维随机变量及其分布测试题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】第三章 多维随机变量及其分布测试题答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第三章 多维随机变量及其分布答案一、填空题（每空 3 分）1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,则 A=_1_2213,0()()1(,)0,AxyxyxFxy其 他2若二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)则随机点落在矩形区域x1 b）与 B=（Yb）相互独立，且 ,则 b=_ _ _.()4PAB346在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于 ”的概率为_ 1_ .31ln47 设 X 和 Y 为两个随机变量，且,则 _ . 34(0,),(0)()77PXYPXY(max,0)PXY578随机变量 ,则 D(3X-2Y)= _ 13 .(,)(,1)N:9设
2、 ,则 85 ，25360.4XYDX()DY37 .()Y10设随机变量 2(),()0,()4,()16,ZaEX,则 108 .0.5XYmin()E二、单项选择题（每题 4 分）1下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. .A.,0,801),(其 他yxyxFB.,0,0,),( 其 他 yxdsteyxFx. .Cyxtsde),( D., ,),(其 他yx2设平面区域 D 由曲线 及直线 围成，二维随机变量120,1xye在区域 D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于 Y 的边缘密度函数在 y=2 处的值为（C ） A12B13 C4D23若(X,Y)服从二维均匀分布，则（
3、B ） 随机变量 X,Y 都服从一维均匀分布 A随机变量 X,Y 不一定服从一维均匀分布随机变量 X,Y 一定都服从一维均匀分布C随机变量 X+Y 服从一维均匀分布D4若 D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ） X 与 Y 不相关 AB(,)()XYFxyFyX 与 Y 相互独立 CD1XYY5在 上均匀地任取两数 X 和 Y，则 （ D ） 0,cos()0PXY1 AB12C2334三、计算题（第一题 20 分，第二题 24 分）1已知 2(),(),(1,)abPXkYkXY与 相 互 独 立 .(1)确定 a,b 的值；(2)求(X,Y)的联合分布列；(3)求 X-Y 的概率分
4、布.解：(1)由正则性 有，()1kPX6123a有，()kY4949b(2)(X,Y)的联合分布律为X -3 -2 -11 24/539 54/539 216/5392 12/539 27/539 108/5393 8/539 18/539 72/539(3) X-Y 的概率分布为X-Y -2 -1 0 1 2P 24/539 66/539 251/539 126/539 72/5392. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0(,)xykepxy其 他(1)确定常数 k；(2)求(X,Y)的分布函数；(3)求 .(01,2)PXY解：（1） 0(34)1xykeddy 4 000 3
5、()()4|12yyxxekeekk k=12（2） 143(34)(,)122()()0yx yxuvFede()()0,yx 34(1)(),0,(,)xeFxy其 他（3） (,2)(1,)(0,)(1,)(0,2)PXYFF38e3设随机变量 X,Y 相互独立，且各自的密度函数为 ，12,0()xXep，求 Z=X+Y 的密度函数13,0()xYeypy解：Z=X+Y 的密度函数 ()()ZXYpzxpzdx 在 x0 时有非零值， 在 z-x0 即 xz 时有非零值()XpxY 在 0xz 时有非零值)Yz336362 00011() |zzxxzxx zZpedede36()zz当
6、 z0 时， Zp所以 Z=X+Y 的密度函数为 36(1),0()0,zzZe4设随机变量 X,Y 的联合密度函数为 ，分别求下3412,0(,)xyepxy其 他列概率密度函数.(1) ; (2) .,MaxXY,NMinXY解：（1）因为 3430()(,)12xyxpxyded3440()(,)xyyYy所以 即 X 与 Y 独立.,Xpxp所以当 z0 时， ()MFz当 z0 时， (,)()(PzPXzY34()1zXYze所以 34430, 0()(1)(),Mzzzzpe 347, 0,zzzee(2) 当 z0 时， NF当 z0 时， ()(,)1()(zPzXzYPXz
7、Y7ze所以 70,()Mzp3470, 0,zzzee5设随机变量 X,Y 相互独立,其密度函数分别为 ，2,1()0Xxp其 他，求 .(5),()0yYep其 他 XY解：因为 X,Y 相互独立，则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0所以 0XY6设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为 ，求3,01,(,)xyxpy其 他X 和 Y 的边际密度函数.解： 20()(,)3,1xpxydx12()(,)(),0Yyyxy四、证明题.1已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证 X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不独立.证明：因为 E(X)=-10.37
8、5+00.25+10.375=0E(Y)=-10.375+00.25+10.375=0E(XY)=-10.25+00. 5+10.25=0所以 E(XY)= E(X) E(Y)即 X 与 Y 不相关.又因为 P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375P(X=1,Y=1)P(X=1) P(Y=1)所以 X 与 Y 不独立.2设随机变量(X,Y)满足 ,证明()0,()1,(,)EXYDXYCovX.22(max,)1EXY证明：因为 ()0,()1,(,)EDXYCovX所以 2222,()1EY()(,)XYCov2221max,|YX因所以 221(
9、)()(|)(|)EEEYEXY由柯西施瓦兹不等式有 22)所以 2 2211(ax,)(|(|)(|)XYXY又因为 22| )EEYEX2(|)()2 所以 21max,(2)1XY3设二维随机变量 的联合概率密度为：),（ (),1,(,)40xyypxy其 他证明 与 不独立，而 与 相互独立XY2XY证明：因为11()(,)(),42pxydxydx1()(,)(),Yyxy所以 ,XYpxpy即 与 不独立X设 则2,UV2(,)(,)(,)FuvPXuYvPuXvY所以当 ；0)0时 ，当 ；11,(,)()14uvFuvxyd时 ，当 ；1,0(,)()vv时 ，当 ；11,(,)()4uuvFvxydu时 ，当 ；0,(,)()uvv时 ，所以,1,0(,),0,0vuvF所以 (,)1,14puvuv其 他所以10(),02Udv10(),14Vpvuv故 (,)Uu所以 U 与 V 独立，即 与 相互独立2XY
