热传导讲义

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1、热 传 导,参考文献,Conduction of Heat in Solids H.S.Carslou and J.C.Jaeger,Oxford Univ. Press, 1959 热传导 张洪济，高等教育出版社 热传导 M.N.奥齐西克，高等教育出版社 热传导理论与方法 林瑞泰编著，天津大学出版社 数学物理方法 梁昆淼编，高等教育出版社,第一章 导热的理论基础,热传导 1、定义：指温度不同的物体各部分或温度不同的两物体间直接接触时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而进行的热量传递现象。 2、物质属性：可以在固体、液体、气体中发生。,3、导热的特点： (a) 必须有温差； (b) 物

2、体直接接触，不发生宏观的相对位移； (c) 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量。,纯导热只发生在固体中,一、温度场与热流场 温度场：某一瞬间，空间（或物体）所有温度点分布的总称。 温度是一种无方向的量，即标量。 温度场是空间坐标和时间的函数。,在直角坐标系中可表示为 t=f(x, y, z, t),第一节 傅立叶定律,温度场分类（以直角坐标系为例）： （1）按时间划分 稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。 非稳态温度场：温度分布随时间改变。 （2）随空间变化 一维、二维和三维稳态温度场。如,热流场：热流在某一瞬间的空间中的分布。 热流或热流密度是一种既有方向又有大小的矢量。,

3、在直角坐标中,二、等温面和温度梯度 等温面：物体内同一瞬间温度相同的点的集合所构成的面称为等温面。 等温线：在二维情况下，等温面为一等温线。 特点： （1）温度不同的等温面或等温线彼此不能相交； （2）在连续的温度场中，等温面或等温线不会中止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。,（3）物体中等温线较密的的地方说明温度的变化率大，导热热流也较大。,温度变化率与温度梯度 ： 温度变化率：在物体内某一点处，沿空间某一方向s的温度的变化率，或称为温度场沿该方向的方向导数。,温度沿某一方向s的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即,温度梯度：对于确定的空

4、间点，在空间各方向上最大温度变化率称为该点的梯度。,系统中某一点所在的等温面的法线方向是最大温度变化方向。该方向的温度变化率即为温度梯度，记为gradt。,温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。,等温面和热流方向示意图,温度梯度在直角坐标系中的表示,注：温度梯度是向量；正方向朝着温度增加的方向。,三、傅立叶定律 它是一种实验定律。1822年法国数学家Joseph Fourier提出的。,物理意义： （1）物体某处的温度梯度是引起物体内部及物体之间热量传递的根本原因。 （2）热流密度q是矢量。热流方向总是与等温面（线）垂直，并指向温度降低的方向。,适用条件： （1）傅立叶定律适用于有

5、、无内热源，常物性或物性随温度变化，任何几何形状，（非）稳态，各种物态（固、液、气）。,（2）适用于特定的时间、特定的地点的局部值。 （3）适用于各向同性的介质。 （4）不适用于非傅立叶导热的情形。,在直角坐标系中，投射表达式为,四、傅立叶定律的局限性,傅立叶定律的假定 导热研究中的连续性假定。 只要所要研究物体的几何尺寸远大于分子间的平均自由行程这种连续性假定总成立。 如一个大气压、室温的空气分子的平均自由行程约为0.07mm. 傅立叶定律适用的前提是热扰动传播速度是无限大 。,对一般工程问题，非稳态导热的热流密度不很高，过程作用的时间足够长、过程发生的尺寸范围足够大，傅立叶导热定律完全适用

6、。,傅立叶定律不适用的情况： 导热物体的温度接近绝对零度时（温度效应）。 如在1.4K的液氮中，热传播速度c仅为19m/s。 当过程的作用时间与材料的固有时间尺度相接近时（时间效应）。 热传播速度无限大假设不成立。 当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均行程相接近时（空间效应）。 连续性假定不成立。,所谓微机电系统是指几何尺寸在1mm到1mm之间的期间所组成的系统。,新技术对传统傅立叶导热提出挑战,时间,空间,其中：a导温系数，c热传播速度。to称为驰豫时间，它反映导热系统趋近新的平衡状态的速度，其数量级与分子二次碰撞的时间间隔相同。它是材料本身固有的时间尺度。 对一般金属其值在10121

7、013 s左右,傅立叶定律的修正式：,讨论： （1）对于稳态导热，热流密度矢量不随时间变化，传播相（左边第一项）的影响消失，傅立叶定律精确成立。 （2）在通常情况下，热扩散率比热传播速度的平方约小10个数量级 ，传播项的影响可忽略不计，此时傅立叶定律仍然适用。,（3）在一些超常情况下，如深冷（c很小）、急速加热或冷却、超高热负荷等（ 很大），才必须考虑热传播项的影响。 例如在1.4K的液氮中，热传播速度c仅为19m/s，传播项的影响不可忽略不计。,第二节 导热系数,一、导热系数 导热系数的定义由傅立叶定律给出： 导热系数在数值上等于单位温度降度（即1/m）下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导

8、的热流量。 导热系数是表征物质导热能力大小的宏观物理量。,1、物态的影响 一般地，固体的导热系数最大，液体次之，气体最低。这一特性也适用于同一物质的不同集态。,导热系数的特点：,物 质,导热系数,可由理论精确地预测导热系数的情况很少，通常使用的导热系数是由实验得出。,2、固体 固体中的热量传递是自由电子的迁移和晶格振动相叠加两种作用的结果. （1） 金属的热导率 纯金属的导热系数：依靠自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者。 金属的导热系数与其导电率呈正比（除了铁等几种金属以外）。,在纯金属中掺入杂质后，合金的导热系数明显降 低，合金的导热系数不一定与掺入比例呈反比。 晶格振动的加强干扰自由

9、电子运动。,金属的导热系数一般随温度的升高而降低，而其它材料的导热系数则升高。,（2）非金属的热导率,非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小。,温度升高、晶格振动加强、导热增强,保温材料：国家标准规定，温度低于350度以下热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）。,大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构。,多孔材料的热导率与密度和湿度有关。,3、气体,气体的导热可以理解为依靠分子间碰撞产生了分子的回转、平行运动动能的交换，分子动能从高的地方向低的地方传递。,根据分子运动理论，单原子理想气体的导热系数可以表示为下式：,：气体分子运动的均方根速度,：气体分子在两次碰撞间平均自

10、由行程,：气体的密度；,：气体的定容比热,气体的压力升高时，气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。除非压力很低或很高，在2.6710-3MPa 2.0103MPa范围内，气体的热导率基本不随压力变化。,气体的温度升高时，气体分子运动速度和定容比热随T升高而增大，导致气体的热导率随温度升高而增大。,氢和氦 氢和氦的导热系数比其他气体高得多。,4、液体 与气体相比,液体的分子间距变小，分子间相互作用变大。由于这个原因，液体能量传递主要依靠分子的振动（声子）。但是，液体不如晶体分子排列有规律性而且分子在液体内运动，因此它的导热机理比固体和气体更复杂。,随着温度升高，液体的导热系数一

11、般降低。,水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，导热系数随温度的变化规律不一样。,液体的导热系数随压力p的升高而增大。,5、导热系数的影响因素,物质的导热系数会因状态参数的不同而改变，是一个物性参数，与材料种类和温度有关。 导热系数的影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。,导热系数与温度 一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围内可以用一种线形关系来描述：,6、各向异性材料的导热系数,各个方向上导热系数都相同的均匀物质，称为各向同性介质。 不同方向上导热系数不相同的物质，称为各向异性介质。例如木材、石墨、晶体等。,导热系数的方向性使得各

12、向异性材料的导热规律变得复杂。,导热系数用矩阵可表示为,一般地，导热系数具有如下特性 对称性 存在导热系数主轴,当坐标系按导热系数主轴选取时，各向异性材料的导热系数可表示为,l1、l2和l3称为主导热系数。 主导热系数不会随坐标系的变动而变化。 各种各向异性材料的导热系数都可以转换成主导热系数的形式。,（2）均匀、各向异性。木材、石墨和变压器铁心等（图b）。 （3）不均匀，各向同性。空心砖（图c）。 （4）不均匀、各向异性。不同材料压制的多层板。 飞行器燃烧室的层板结构（图d）。,7、工程导热材料的一般分类 工程技术中采用到导热材料与结构可以分为四类： （1）最广泛使用的是均匀、各向同性的导热

13、材料（图a）。,第三节 各向异性介质中的导热,问题：各向异性材料导热与各向同性材料导热相比有何不同？,选取直角坐标系（x, y, z），材料固有导热系数主轴为（ x1, y2, z3）。,在各向异性介质中，温度场、等温面和温度梯度和热流向量的概念仍然适用。 各异性主轴的导热系数为常数，在此方向上与一般各向同性介质无异，可应用傅立叶定律。,即,不同坐标系下热流密度的转换 li，mi，ni是x1，y1，z1与x、y和z的夹角余弦（或方向余弦）i=1，2和3。,两坐标系之间温度梯度的转换,提示： （x, y, z）(x1,y1,z1)转换矩阵为CT。 （x1,y1,z1) （x, y, z）转换矩阵

14、为C。,坐标系（x, y, z）中 热流密度与温度梯度之间的关系,即,讨论： 1、各向异性材料沿各方向的导热系数不相同，此时导热系数不再是标量，而是张量。热流密度的方向不仅与温度变化率有关，而且还与导热系数的方向有关。于是，此时热流密度一般不再保持与等温面相垂直。 2、在各向异性材料中，不仅与该方向的温度变化率有关，而且还受其它方向上的温度变化率的影响，但不同方向上的温度变化率对热流密度的影响不同。,2维各向导热异性问题,讨论： 当b=0时，（x, y）与（x, h）两坐标系重合 若lh lx，温度梯度的负方向与热流密度方向不一致。 若lh=lx，温度梯度的负方向与热流密度方向一致。,第四节

15、热传导方程,一、问题的提出 傅立叶定律是否能完全描述导热现象？为什么？ 傅立叶定律只揭示了连续温度场内每一点温度梯度与热流密度之间的关系，如果知道了温度分布就能得到相应的热流分布。,傅立叶定律没有说明某点的温度与它相邻点温度的关系，也没有回答该点温度如何随时间变化。,导热微分方程就是要揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。,热传导方程的推导基于： (1)热力学第一定律 (2)傅立叶定律,二、热传导方程 (不依赖于坐标系）,1、一般导热积分方程 热力学第一定律：,导入控制体的净热量,控制体内热源的发热量,控制体中物质热力学能的变化量,注：dA的方向（n）是向外法线方向，负号表示热流指向控

16、制体内部，此式是导热能量方程的积分式。,2、导热微分方程的导出 由散度定理 div表示散度，表示纳布拉算子 于是积分方程变为,此式是导热能量方程的微分形式。,导热微分方程和导热积分方程的一般形式。,若将e=ct代入，得,提示： 该导热微分方程不依赖坐标系，并且只是应用了热力学第一定律。 可在此基础上导出适合各向同性或各向异性的导热方程。,3、各向同性材料的导热方程 将q=-lt代入上述关系式，得,得到了导热积分方程和导热微分方程。 条件：满足傅立叶定律的适用条件。,圆柱坐标系,直角坐标系,球坐标系,几种特殊的导热微分方程： （1）对于常物性材料，l、c、r都是常量。方程变为 傅立叶毕渥方程。 2拉普拉斯算子，a为导温系数。 对于直角坐标,柱坐标系,球坐标系,（2）条件同（1），无内热源时qv=0，有,（3）对于稳态导热，常物性,称为泊桑（Possion）方程,（4）进一步简化，无内热源： 该方程称为拉普拉斯方程。,热扩散方程。,a =l/(rc)为导温系数（热扩散率）。它反映了导热过程中