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1、五、弹性薄板和平板壳单元分析初步及程序,五、弹性薄板和平板壳单元 分析初步及程序,弹性薄板基本知识 弹性薄板矩形（R12）单元 薄板分析程序的使用 矩形平板壳体单元 平板壳体程序的使用 计算结构力学基础的结束语,5.1 弹性薄板基本知识,5.1.1 弹性薄板基本概念,中面,所谓薄板是指板厚h比板最小尺寸b在如下范围的平板,板面位移如图所示。,当w小于板厚h时，有克希霍夫(G.kirchhoff)假定成立： a) 板中面是中性面，没有变形。 b) 中面法线变形后仍为挠曲面法线，长度不变。 c) 忽略应力z和应变 z 。,平分厚度的平面称中面。,5.1 弹性薄板基本知识,由克希霍夫假定c) 忽略应
2、变 z可推得w与z无关，由b)可知 zx和 yz等于零，再加上中面无变形，最终可得,由此结果可得,x向曲率,y向曲率,扭率,他们完全确定板的变形，因此称他们组成的矩阵为形变矩阵，记作，也即,位移只与挠度w有关,5.1 弹性薄板基本知识,由此可得薄板应变矩阵为=z。,5.1.2 薄板内力和总势能 1) 设平面应力弹性矩阵为D，则薄板应力矩阵为 =-zD 。,2) 薄板内力 微元体如图所示。,由图可得,5.1 弹性薄板基本知识,由此可得薄板单位长度内力为Mx、My、Mxy= Myx (dx=dy=1)，依此顺序排列的列阵称内力矩阵，记作M。 将应力应变关系代入并对z进行积分，可得 M=D 式中 D
3、=（h3/12）D 称作薄板的弹性矩阵。 3) 薄板的应变能,5.1 弹性薄板基本知识,4) 薄板的总势能 设薄板受z方向分布荷载q(x)作用，则线弹性薄板的总势能为,上式就是下面作有限元分析的理论依据。,能写出各向同性弹性体的D矩阵吗? 能写出正交各向异性弹性体的D矩阵吗?,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,5.2.1 薄板单元位移模式 设局部编号1、2、3、4，x 、y方向长度分别为2a、2b的矩形板单元如图所示。,1,2,4,3,1) 结点位移和结点力矩阵,图中还给出了各结点位移和结点力的示意图。,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,2) 形函数的确定 薄板的形函数可以用广义坐标法，也
4、可以用试凑法得到。由于单元自由度为12，因此可有12个广义坐标，位移模式可设为如下不完全四次多项式,利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然十分麻烦。龙驭球提出利用对称性较直接广义坐标法要容易一些，也还有很大工作量。 为此介绍试凑法,首先引入自然坐标=x/a，=y/b。,？,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,2-1) 试凑形函数N1 由形函数性质，对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 N1对x，y的偏导数在结点处均为零。,利用所有点N1的导数为零条件，P.125 经式(c)(l)的推导，可得,考虑到挠度是非完全四此式，为使自动满足它点为零N1(j)=0 ，
5、可设,再由本点处位移的条件，可得d=-1/8，由此,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,2-2) 其他形函数Nj、Nix 、Niy 记 0 = i ； 0= i 仿N1可得:,对于转角xi相关的形函数，同样思路推导可得,对于转角yi相关的形函数，可推导得,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,3) 薄板的挠度场 有了每一结点的形函数，记,则薄板的挠度场可由结点位移表示为,4) 单元间位移的协调性 可以证明，上述w在边线上任意一点的挠度和转角都是三次多项式。,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,因此，边线的挠度和转角可由两端点的挠度和沿边线导数对应的转角唯一地确定。 但是，边界法向转角只有两端两个
6、法向转角位移条件，当然无法唯一地确定，所以相邻单元法向转角位移不协调。,由此可见，由形函数所建立的挠度场,是非完全协调的。（教材上有更严密的数学证明）,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,5) 非完全协调元的收敛性,对于薄板等位移场非完全协调的位移模式,如何才能保证收敛呢? Irons 给出了小片检验准则：,用待检验的单元组成一小片，在无荷载、单元结点位移满足“常应变”状态位移条件时，如果各结点能够保持平衡且获得“常应力”受力状态，则这种位移模式对应的单元在如此网格下一定收敛。 P.127 给出了具体检验的方法、步骤，请自学。,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,5.2.2 薄板的单元列式,1
7、) 总势能用结点位移表示,将位移模式代入可得形变矩阵为,在5.1中已导出,5.2 弹性薄板矩形（R12）单元,2) 薄板单元刚度方程,式中,由总势能的一阶变分为零可得,5.3 薄板分析程序的使用,基本数据 NF,NE,NN,MB,ND,LE,LS,NH,NL,E,UM,T,NF = 结点位移数 NE =单元结点数 NN = 总结点数 MB =半带宽数 ND = 零位移码总数 LE =单元数 LS = 结点坐标数 NH = 规则网格标志 ( 0 规则) NL = 荷载标志 ( 0 - q , 1 - P ) E = 杨氏弹性模量 UM =泊桑比 T = 厚度,5.3 薄板分析程序的使用,结点坐标
8、 IF (NH = 0) THEN READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE READ (8,*) (XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END IF,单元结点编码信息 IF (NH /= 0) THEN READ (8,*) (NX(I,J),I=1,4),J=1,LE) END IF,荷载信息 IF (NL = 0) THEN READ (8,*) QQ ! 均布荷载集度 ELSE DO READ (8,*) IPOIN,VALUE ! 集中力作用情况：读作用点号和力值 IF (IPOIN 0) EXIT ! IPOIN = 负数用来结束读入 END DO END
9、IF,5.3 薄板分析程序的使用,约束信息: READ (8,*) (MC(I),I=1,ND),运行Tpf程序,5.3 薄板分析程序的使用,3,4,25,21,17,16,2,0,0,2.55e7,0.167,0.2 4,4,1.,1. 20. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,61,73,5.4 矩形平板壳体单元,壳体一般其中面都是曲面，对于柱面壳体，可以用一系列小的矩形平板来逼近它。此外还有一些折板结构，它们都可以用平板壳元来分析。,柱壳,折板结构,5.4.1 平板壳体单元刚度方程 壳体结构象拱一样，中面既受面内力作用产生面内变形外，还将象板一样产生
10、弯曲。但由于弯曲中面无变形，面内变形又不产生弯曲，两者互不藕联。因此，可以象杆件单元一样，用平面应力和平板弯曲组合来得到壳体单元刚度方程。,5.4 矩形平板壳体单元,5.4.2 坐标转化问题 平面问题（除等参元外）和平板弯曲问题单元局部坐标和整体坐标一致，因此没有坐标转换问题。如图示意，各平板壳元局部坐标可能不同，所以集装前要做坐标转换。,3,2,取母线为局部x,如图由1、4点的坐标，可以确定局部坐标y的单位向量，局部坐标x单位向量已知，由这两单位向量的向量积就可获得局部z坐标单位向量。 按上述思路，在 P. 164165 建立了各单位向量的方向余弦，由此即可获得坐标转换矩阵T。,1,4,5.
11、5 平板壳体程序的使用,基本数据 NF,NE,NN,MB,ND,LE,LS,NH,NL,E,UM,T,NF = 结点位移数 NE =单元结点数 NN = 总结点数 MB =半带宽数 ND = 零位移码总数 LE =单元数 LS = 结点坐标数 NH = 规则网格标志 ( 0 规则) NL = 荷载标志 ( 0 - q , 1 - P ) E = 杨氏弹性模量 UM =泊桑比 T = 厚度 CAHS=圆心角 R = 半径,结点坐标 IF (NH = 0) THEN READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE READ (8,*) (XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END
12、 IF,单元结点编码信息 IF (NH /= 0) THEN READ (8,*) (NX(I,J),I=1,4),J=1,LE) END IF,5.5 平板壳体程序的使用,荷载信息 IF (NL = 0) THEN READ (8,*) QQ ! 均布荷载集度 ELSE DO READ (8,*) IPOIN,VALUE ! 集中力作用情况：读作用点号和力值 IF (IPOIN 0) EXIT ! IPOIN = 负数用来结束读入 END DO END IF,约束信息: READ (8,*) (MC(I),I=1,ND),5.5 平板壳体程序的使用,5.5 平板壳体程序的使用,简支边,自由边
13、,1/4圆柱壳,运行PMQY程序,6,4,30,42,35,20,3,0,0,200.,0.0,8.,0.698,800 4,5,139.6,150. 0.00004 1,2,4,5,8,10,14,16,20,22,26,28,31,35,61 65,91,95,121,125,151,153,155,157,159,161 163,165,167,169,171,173,175,177,179,5.6 计算结构力学基础结束语,计算结构力学内容非常丰富，作为本科学习阶段，希望通过学习能了解用有限元分析问题的基本思想、基本方法，并初步了解有限元程序的基本结构。 在初步了解原理的基础上，希望能利用程序分析工程结构问题，并从计算分析中总结和归纳一些有用的结论。 所介绍的这些内容，当然是最最基本的。但是，如果真的掌握了这些知识，也是有条件在此基础上自学更深入的有限元内容的。当然，这还是要一步步地逐渐加深加宽，马上看最新研究内容，知识储备还是不够的。 希望通过这一部分学习对大家有所帮助！,
