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1、1,常数项级数,函数项级数,正 项 级 数,幂级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,泰勒级数,一、主要内容,2,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,3,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,1、常数项级数,4,常数项级数审敛法,5,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,6,(2) 比较审敛法的极限形式,7,8
2、,9,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,10,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,11,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,12,(3) 和函数,13,(1) 定义,6、幂级数,14,2、幂级数,(1) 收敛性,15,推论,16,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,17,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(2)幂级数的运算,18,b.和函数的分析运算性质:,19,3、幂级数展开式,(1) 定义,20,(2) 充要条件,(3) 唯一性,21,(3) 展开方法,a.直接
3、法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,22,(4) 常见函数展开式,23,24,(5) 应用,a.近似计算,b.欧拉公式,25,二、例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,26,解,根据比较判别法，,原级数收敛,27,解,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,28,例,解,即原级数非绝对收敛,29,由莱布尼茨定理：,知此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,30,例,解,两边逐项积分,31,32,例4,解,33,34,例5,解,35,36,测 验 题,37,38,39,40,41,42,测验题答案,
