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1、1,风险与收益的数学度量,第一章 基础知识,效用函数,随机占优,2,第一章 基础知识,第一节 风险与收益的数学度量,证券投资收益率的数学公式,为证券第t期末的价格；,为证券第t期初的价格；,为证券在第t期的股息、红利等现金收入；,3,单个证券收益和风险的度量,对于单个证券而言，若收益率服从离散型分布,投资机会的盈利性（收益）和风险可表示为：,实际应用中，常常用样本均值与方差，来做近似替代：,第一章 基础知识,4,有时也用R的下侧方差（lower partial variance,简记为LPV）来描述风险。,若收益率服从分布函数为F(r)的连续型分布，则其下侧方差为：,若收益率服从分布律为P(R
2、=ri)=hi的离散型分布，则其下侧方差为：,还有用概率来刻画风险的，如Domar认为：如果某一投资机会的最小容许量用r0表示，就可以用p(R r0)的大小来描述风险。,实际上，我们可以采用一个一般的数学度量范数来描述风险，以上对风险的描述方法只不过是其中的特例罢了。,第一章 基础知识,5,证券组合收益和风险的度量,若某个投资者面临的是一组由m个证券组成的投资机会，令第i个证券的投资收益率为 ,投资组合的收益率为随机变量,投资机会（组合）的收益可表示为,投资机会的风险可以用 的协方差矩阵来表示：,显然，协方差矩阵是对称矩阵。,第一章 基础知识,其中,为证券i收益率的方差；,为证券i和证券j的收
3、益率,之间的协方差，即,6,协方差矩阵通常有如下性质：,第一章 基础知识,证明,证毕.,7,第一章 基础知识,证明,证毕.,8,具体到由收益率为 和 两种证券组成的投资组合而言，假定收益率均为离散型随机变量，并且联合分布律为,投资机会的风险可以用两种证券收益率的协方差来表示：,（无量纲！）,实际应用中，由于无法得到证券整体的指标，一般用样本指标来近似替代。,第一章 基础知识,9,解,第一章 基础知识,10,第二节 效用函数,第一章 基础知识,引例1,按照期望收益率最大准则,应该选择投资机会B。,然而，对于投资机会A而言，虽然期望收益率低于投资机会B，但是它的收益是 确定的，而投资机会B却有7/
4、10的可能得到的为负或者是零收入,对于一个谨慎的投资 者而言，宁愿选择投资机会A，而不选择B。,11,第一章 基础知识,引例2,按照期望收益最大准则，不难得到参赌人所获得收入的期望值为：,也就是说参赌人只要拿出有限的钱来参加这种赌博得到的收益都是无限大的。这显然不符合事实！,单独运用期望收益来进行投资决策不合理！,12,第一章 基础知识,效用函数概述,效用（utility）,效用的本意是一种主观感受,是一种主观意愿的满足程度.,本课程考察的是在投资活动中对投资结果的满意程度,即为投资的效用.,效用函数（utility function）,效用函数是对满意程度的量化.效用函数可分为:,这种效用函
5、数只反映一种满意程度的顺序关系.,序数效用函数（ordinal utility function）:,基数效用函数（cardinal utility function）,这种效用函数能够度量效用的具体数值.因此它不仅能反映投资 效用的顺序,也度量出了它们之间的大小数量关系.,13,第一章 基础知识,效用函数的具体应用分为确定性状态和不确定性状态两种.,确定性状态下的效用函数:（如商品配置问题）,不确定性状态下的效用函数（期望效用函数）,所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个 随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学 期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较
6、“钱的函数的数学期望”.,可以证明,在确定状态下的序数效用函数存在，在不确定性状态下基数效用函数存在.,14,第一章 基础知识,效用函数的应用风险态度,风险厌恶型,至少在某一点不等号成立.,实际上,绝大多数的投资者都具有该类效用函数,即属于风险厌恶型投资者. 如假定,效用函数的二阶导数小于零,即人们通常所说的边际效用递减规律.,这类投资者的效用函数满足：,15,第一章 基础知识,风险厌恶型效应函数为凹函数,即期望的效用大于效用的期望,这就是重 要的不等式Jensen不等式.,证明,不等式两边同时求期望,可得,亦即,，,即,证毕.,16,第一章 基础知识,风险爱好型,这类投资者（现实生活中很少）
7、的效用函数满足：,至少在某一点不等号成立.,显然,该函数是增函数,而且是凸函数,其曲线如图所示,同理,可以证明风险爱好型投资者的期望的效用小于效用的期望,即,17,第一章 基础知识,第一章 基础知识,风险中性型,这类投资者的效用函数满足:,显然,该函数是斜率为正的直线,如图所示:,同理,可以证明风险中性型投资者的期望的效用等于效用的期望,即,18,第一章 基础知识,常见的风险厌恶型效用,绝对风险厌恶递减型投资者:该类型的投资者的偏好表现为:当R 的数值相当大时,他们对风险的厌恶程度就会降低,往往还会多进行一些风险性投资.即:,至少在某一点不等号成立.,相对风险厌恶函数,将绝对风险厌恶函数代入上
8、式展开,得到,即：绝对风险厌恶型投资者的效用函数须同时满足：,绝对风险厌恶函数,19,第一章 基础知识,几种常用的风险厌恶型效用函数：,1、指数效用函数,显然,2、幂效用函数,显然,幂效用函数的投资者是绝对风险厌恶递减型。,3、对数效用函数(Bernoulli函数),显然,20,第一章 基础知识,如果假设参赌者具有对数效用函数,就能解决圣彼得堡悖论，于是又称对数效用函数为Bernoulli函数。,假设参加赌博者都是风险厌恶型，他们都具有相同的效用函数,而,于是,这说明，如果参赌者的偏好真正由效用函数确定,那么他们至多只会花2元来参加赌博.,21,第一章 基础知识,单期Merton比率,资产分配
9、优化中的一个重要的比率Merton比率，是1997年诺贝尔经济学奖 获得主Merton于1969年在他的一篇重要论文中推导出来的。,22,第一章 基础知识,另外，一个周期末，风险性资产的期望收益率为,23,第一章 基础知识,于是，该投资者的期望效用为,由期望效用最大原则，对期望效用函数关于a求导，并令其为零，可得,a即为单期Merton比率.,24,第一章 基础知识,第三节 随机占优,Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更一般的比较不同资产风险的分析框架在效应理论的架构下，采用随机占优（Stochastic Dominance）方法来判断两个投资机会的优劣。,期望
10、效用最大化投资决策的前提是先确定效用函数，然而效用函数“只可意会，不可言传”，很难对效用进行精确的量化。,由于投资机会的收益率R是一个随机变量，因此可以采用数学上专门研究各 种条件下随机变量优劣比较的方法随机序来讨论投资决策问题，并根据效用 函数的性质采取渐进式的决策方法。,投资决策随机优势准则,FSD,SSD,TSD,，,随 机 序,25,第一章 基础知识,一阶随机占优（First-order Stochastic Dominance）,FSD准则,FSD准则的证明,充分性,那么,于是,26,第一章 基础知识,因此,必要性(反证法),即,因此,矛盾.,证毕.,27,第一章 基础知识,FSD准
11、则的解释,即,而,即,亦即,28,第一章 基础知识,FSD准则的图形表示,图中的三条曲线分别代表三个投资机会A，B，C的收益率分布函数， 根据FSD准则，不难判断投资机会B和投资机会C均优于投资机会A，但 是投资机会B与投资机会C的优劣无法判断。,29,第一章 基础知识,二阶随机占优（Second-order Stochastic Dominance）,SSD准则,SSD准则的证明,先证充分性,30,于是有,下证必要性，同样用反证法。,31,于是，,由题设可知，,并且,要使,恒大于零，即,与假设矛盾.,证毕.,32,第一章 基础知识,SSD准则的图形表示,当两个投资机会收益率的分布函数曲线相交
12、时，FSD准则失效。,如图（区域内有“+”号的，表示FB(r)超过FA(r)的积分面积，区域内有“”号 的，表示FA(r)超过FB(r)的积分面积，且前者区域（带“+”号）的面积大于后者 区域（带“”号）的面积）所示，投资机会A与投资机会B收益率的分布函数虽 然有相交的现象，但是依然可以判断A优于B。,33,第一章 基础知识,而又不难得到,0,即,从而投资机会A优于投资机会B。,34,第一章 基础知识,三阶随机占优（Third-order Stochastic Dominance）,TSD准则,先证充分性,TSD准则的证明,35,而,(留作练习!),于是,由题设,显然有,36,下证必要性，同样
13、用反证法。,分两种情况考虑,第一章 基础知识,37,第一章 基础知识,38,第一章 基础知识,随机优势准则的一般决策过程为：,（1）在诸多的可行的投资机会中，用FSD准则进行选择，除去劣类投资机会；,（2）在通过FSD准则的投资机会中，继续用SSD准则进行选择，除去劣类投资机会；,（3）对通过SSD准则的投资机会，进一步用TSD准则进行选择，通过的即为SD最优的 投资机会。,39,第一章 基础知识,【本章要点】 效用函数 期望效用最大准则 基于效用函数的风险态度分类 一阶、二阶随机占优准则的证明以及图形表示 三阶随机占优准则 运用基础理论处理简单的投资决策问题,40,第一章 基础知识,【本章练习】,一、名词解释 效用函数 风险厌恶 相对风险厌恶系数 绝对风险厌恶系数 绝对风险厌恶递减型投资者 FSD准则 SSD准则 TSD准则,二、证明：对于风险爱好型投资者而言，期望的效用小于效用的期望，即,三,四、试用期望效用函数理论解释圣彼得堡悖论 .,
