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1、 快速破解高考圆锥曲线综合题例谈 1 刘立兴高考解析几何主要考查建立标准方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系。考察借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题。主要考察数学逻辑推理素养和数学运算素养。 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。数学运算是指在明晰运算对象的基
2、础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等，数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，形成程序化思维。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。星爷功夫中，火云邪神曾说过一句话“天下武功无坚不摧，唯快不破”，高考数学考场只有两个小时，快速的解答出试题，就是取胜的法宝，如何能“快”地把繁杂解析几何题目解决呢？这就需要具有优质地数学思维能力，合理选择解题
3、途径，方能高屋建瓴、睥睨试题。下面以2007年高考四川卷理科第20题来说明如何利用数学思维用数学地眼光分析问题、数学的思维解决问题。为我们对解析几何综合题地侦破的训练提供一点思路。典例（2007年高考四川卷理科第20题）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法1：思维解读最值是函数的性质，由此我们要研究的函数表达式.焦点、的坐标易求，那么设点，由内积的坐标式可以将表示为的二元解析式。审视条件“是该椭圆上的一个动点”，知点坐标满足椭圆方程，进而消元化简，把
4、问题转化为“某一元函数在闭区间上的最值问题”，那么一元变量的范围可以界定吗？挖掘题目的隐含条件：“椭圆的范围”，问题可解.（或者：已知椭圆方程易求得其焦点坐标，设点，通过向量的坐标运算，将表示为二元解析式，进而利用“点在椭圆上”进行消元化简。如此可将问题转化为“某函数在闭区间上的最值问题”.挖掘题目的隐含条件：“”，问题可解.）解答示范由已知得，所以，设，则：， 由在椭圆上知，代入得，=因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值，当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值.另解：对式，消变量则有，因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值，当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值.（本题消，式子更简明）解法
5、2：思维解读由向量数量积的定义及余弦定理，仍可以转化为解法1的形式.解答提示（以下同解法1）解法3：思维解读利用椭圆的参数方程，转化为三角最值.解答示范设（为离心角）,则=因为所以，当或时，即点为椭圆短轴端点时，有最小值，当或时，即点为椭圆长轴端点时，有最大值.解法4：思维解读本题化归途径皆依赖于“变量有确定范围”，即函数的定义域，值域这一想象。重新审读题目条件联想椭圆焦点三角形的性质，突然想到连接，则为焦点三角形的中线，当点运动时范围是确定的，故有如下化归途径：由向量的加，减运算，将用表示.解答示范如图连接OP，则由平面向量运算知：所以即有： 由，联立消可得，即， 所以的最小值为-2，最大值
6、为1.另简解：由解法1得： 因，而，易得的取值范围是.所以的最小值为-2，最大值为1.解法5：思维解读 进一步思考上面的解法，主要是抓住了P点坐标的范围这一特征，化归为函数最值问题，那么除了点坐标有确定范围，本题涉及的有关量中还有那些变量有确定的范围呢？从这个方向考虑：焦半径、范围确定.解答示范由椭圆定义：，把表示为以、为变元的代数式进行分析：，令由得， ， ， 由，消变量（或）便可化为关于变量（或）二次函数闭区间求最值问题，即有，当时，有最小值-2，即有最小值，此时点为椭圆短轴端点；当时，有最大值1，即有最大值1，此时点为椭圆长轴端点.解法6：思维解读上述5种解法，都是把问题转化为“某函数在
7、闭区间上的最值问题”.考虑二元解析式的几何意义，数形结合仍可找出化归方向。对于二元解析式即，化为 考虑它的几何意义，数形结合则有如下解法.解答示范式的几何意义为：圆心在（0,0），半径为动圆，由题意，椭圆与动圆应有公共点，如图分析易知当动圆内切于椭圆时半径最小为椭圆短半轴长1，即此时有最小值-2，有最小值；当动圆外切于椭圆时半径最长，为椭圆长半轴长，即此时有最大值1，有最大值.解法7：思维解读类比解法6，并结合解法5，还可以做如下处理.解答示范， ， 的几何意义为线段， 的几何意义为圆心在原点，半径为的动圆的部分弧.由题意线段和动圆有公共点，则如图分析易知当动圆与线段相切时半径最小；动圆恰好过
8、端点A，B时半径最大.由点到直线距离公式得，解得，所以，把点或点代入动圆方程可得，所以.解法8：思维解读 由圆的标准方程和参数方程，对式再做联想.解答示范把式变形为，此式的几何意义为一段圆弧（圆的一部分），由此考虑圆的参数方程（或三角代换），令则由得到所以，考虑式 ，由于得（视为一简单变量），则问题转化为一次函数求最值问题，易得，.【反思感悟】（1）解法6把数式函数化，令=，再充分利用其几何意义；解法7对、的几何意义进行剖析，立即使所求变得直观形象；解法8，巧妙地引入参数，另辟解法.真可谓“数学解题，妙在一设”.解题至此，不由感叹最值问题的处理，或消元保留一个变元化归为函数最值；或数形结合充分
9、利用直线，圆，圆锥曲线的且，交等几何背景意义进行化归，此时一般需要添元如解法6,7,8. 我们知道函数，方程，不等式三者紧密相连，一定条件下可相互转化，如解法5中得到 ，我们可以看做是关于的二次函数，亦可看做是关于的二次方程，于是问题又可化归为已知关于方程在闭区间有解，求参数的范围，之范围确定，最值亦确定，可视为解法9，具体读者可自行解答；（2）本问的一般性结论是：The1设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，则的取值范围是.事实上，设，则，易知，故，结论成立（这是通法！）依此通法，我们可以得到类似的结论：The2设是椭圆上的一个动点，为焦半径的长.() 、分别为长轴的顶点，则的
10、取值范围是；() 、分别为短轴的顶点，则的取值范围是.（）解法1：思维解读由已知椭圆方程即知，故点（0,2）在椭圆外.由“直线与椭圆交于不同的两点”，因此由“”，可以得到的一个范围；由“为锐角”，即知“”.由题意显然，故为锐角，再得到的又一个范围.取两个范围的交集，的范围确定.解答示范显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：（1）由得：或 （2）又，又，即 故由、得或.解法2：思维解读依“极端化”思想入手，只需考虑及（即直线与椭圆相切）时的情况亦可.解答示范由题设知直线存在斜率，设，设，相应地，应有，由，有，得.由，有，得.由韦达定理，解得，综合，得，结合图示及椭圆的对称性，应有
11、或.解法3：思维解读考虑直线的参数方程进行转化，是否可行呢？解答示范 设直线：为参数，代入椭圆，化简并整理得：.（1）由得，所以又，有，即或；（2）设，由韦达定理，又，=，得，则所以，即 ,综上（1）、（2）得 或.解法4：思维解读 那么考虑椭圆的参数方程是否可行呢？解答示范用椭圆的参数方程，设（，为离心角），由三点共线，故，化简整理得=，即=，又，故可得， 设，相应地，应有，由积化和差公式可以得， 利用二倍角公式并把式代入即有：+，解得，所以.由直线的斜率公式知 ，所以所以16，；当时直线和椭圆相切，由题意结合图形可知，切点在一，二象限，不妨设切点在第一象限，由椭圆方程可得，所以，即有解得,
12、所以，由对称性知当切点在第二象限时，其斜率，综上结合图示及椭圆的对称性，应有或.（2）中解法1,2,3,均立足于直线方程与椭圆方程联立，得到二次方程，研究二次方程的判别式，结合韦达定理处理问题;解法2、4依“极端化”思想，考虑及（即直线与椭圆相切），解法4对两种特殊情况深入解读，分别运用椭圆的参数方程借助三角工具解决了时直线的斜率；运用函数的导数工具解决了时直线的斜率.特别注意隐含条件“”的作用！解法4利用了椭圆的参数方程，事实上同样想法也可以解决2019年全国卷理科数学2卷21题（ii）问.2019理科数学全国卷（II）21题已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与B
13、M的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.解题至此，不由感叹数学思维的重要性、虽说条条大路通罗马，我们却是需要最快的一条道路.解析几何问题很多时候不仅仅是硬算的事儿，更是对数学思维的考察。想的透彻，运算量就会小；不假思索，暴力硬解，可能的结果就是前功尽弃，解析几何是对思维成本，时间成本，运算成本，经验成本，心理成本的综合考察。所以研究解析几何问题时应先仔细分析已知条件，并对目标做出分析和预判，再着手填充运算过程.只有想的多，才能算的少。10
