《简明通信原理 普通高等教育十一五 国家级规划教材 教学课件 ppt 作者 曹丽娜 简明 第2章C》由会员分享,可在线阅读,更多相关《简明通信原理 普通高等教育十一五 国家级规划教材 教学课件 ppt 作者 曹丽娜 简明 第2章C(39页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、简明通信原理,曹丽娜 编著,简明通信原理,第2章 信号和频谱,学 习 目 标,信号的分类与特性。 傅里叶级数和傅里叶变换。 能量(或功率)谱与相关函数。 平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性。 高斯白噪声和低通(或带通)白噪声。 带宽的概念与定义。,2.1 信号分类,信号(signal)是指表示消息的某种电(物理)量,如电压、电流或电磁波等。 为方便研究不同问题,可将信号进行如下分类: 模拟信号与数字信号(详见第1章) 基带信号与已调信号(详见第1章) 确知信号和随机信号 周期信号和非周期信号 能量信号和功率信号,2.1.1 确知信号和随机信号 确知信号是可以预先确知其变化规律的信号。例如, 。
2、 随机信号(不确知信号),其在定义域内的任意时刻都没有确定的函数值。例如,通信系统中的接收信号、热噪声等。 2.1.2 周期信号和非周期信号 周期信号是定义在( )区间上,且每隔固定的时间按同样规律重复变化的信号,即满足: T0为信号的周期。 提问:冲激函数、正弦信号、Sa(x)函数、矩形脉冲序列、语音信号,哪些是周期信号?,2.1.3 能量信号和功率信号 电压v(t)或电流i(t)在电阻R上所产生的瞬时功率为 或 “归一化”瞬时功率(取R=1欧姆): s(t)代表v(t)或i(t) s(t)的(归一化)总能量为 (归一化)平均功率为: 若E有限 ,而P0,则称为能量(有限)信号。如单个矩形脉
3、冲。 若P有限,而E,则称为功率(有限)信号。如周期信号和随机信号。,确知信号的分析方法是信号分析的基础。 信号的特性可从时域和频域来描述。 时域特性反映信号随时间变化的特性,可借助示波 器观察信号的波形。 频率特性反映信号各个频率分量的分布情况,可借助频谱仪观察信号的频谱。 在数学上,周期信号的频谱可用傅里叶(Fourier)级数来分析;非周期信号的频谱可用傅里叶变换来分析。,2.2 确 知 信 号,2.2.1 傅里叶级数 周期信号s(t)可展成(指数型)傅里叶级数: 其中,傅氏系数Cn为 式中,f0 = 1/T0为信号的基频,nf0为 n次谐波频率。 由于Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和
4、相位值,故称Cn为信号的频谱。可记为 幅度 随频率(nf0)变化的特性称为信号的幅度谱, 相位 n 随频率(nf0)变化的特性称为信号的相位谱。,【例2-1】 一个周期矩形脉冲信号的时域波形与幅度谱如图2-2所示,简述周期信号频谱的特点,并确定该信号需要占用的频带宽度(即信号带宽)。 解:周期信号的频谱具有“离散性(谱线)、谐波性和收敛性”的特点。 幅度谱的主瓣宽度(指第一个零点频率范围)定义为信号带宽(零点带宽): 可见,脉宽 越窄,B 越宽。,2.2.2 傅里叶变换 一个非周期确知信号s(t)的傅里叶(Fourier)变换: (2-2-5) 称为该信号的频谱密度,简称频谱。 的傅里叶反变换
5、就是原信号: (2-2-6) 这对傅里叶变换关系可简记为 当引入冲激函数之后,傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。,【例2-2】试求幅为A,宽为 的单个矩形脉冲(门函数)的频谱。 解:对该信号进行傅里叶变换可得其频谱为 式中, 称为符号函数,且有 。谱的第1个零点频率为 。 图2-3 矩形脉冲信号及其频谱函数,第一零点f=1/,评注: (1)非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱,其形状与图2-2所示的周期矩形脉冲信号的离散频谱的包络线相似。 (2)信号带宽与脉冲持续时间(脉宽 )成反比,即 。这意味着,若要压缩信号的持续时间则以展宽频带为代价。 【例2-3】 已知 ,求 的频谱(密度)。 解
6、:利用欧拉公式可得 根据傅里叶变换的频移特性可得 另一解法:利用傅里叶变换的频域卷积性质求解。 评注:上式通常称为调制定理,它在通信系统中的调制与解调过程中经常用到。,2.2.3 冲激函数和冲激序列 1、单位冲激函数(t) (t)是一个幅值无限大、宽度无穷小、面积为1的脉冲,可表示为 (1)筛选特性(采样特性) 或 (2)搬移特性 (3)傅里叶变换和反变换 2、单位冲激序列,2.2.4 能量谱密度和功率谱密度 意义:。 1能量谱密度(ESD) ESD是指信号的能量在频域上的分布情况。表示为 或 式中的S()为能量信号 s(t) 的傅里叶变换。 信号能量为 上式称为Parseval(帕塞瓦尔)能
7、量守恒定理。,2功率谱密度(PSD) PSD是指信号的功率在频域上的分布情况。设 是功率信号s(t)的截短信号, 是 的傅里叶变换,则s(t)的功率谱密度为 或 信号功率为 对于周期性功率信号来说,其平均功率由下式给出: 式中, =1/ f0为信号周期; |Cn|2是第n次谐波的功率。|Cn|2随nf0分布的特性称为周期信号的(离散)功率谱密度,可表示为 或,3.能量(功率)带宽 对于能量信号,可利用能量谱E(f),由下式求出带宽B : 式中,为百分比,可取90%、95%或99%等。 对于功率信号,则可利用功率谱P(f),由下式求出带宽B : 2.2.5 波形的互相关和自相关 相关函数用于研究
8、信号波形之间的关联程度或相似程度。,1相关函数 表2-3 不同类型信号相关函数的表达式 其中, 为时间差;T0为周期。,2互相关函数的性质 ,表示两个信号互不相关; 越大,说明无时差时的两个信号越相似; 3自相关函数的性质 能量信号的R(0)=E(能量);功率信号的R(0)=P(功率)。,2.2.6 相关函数与谱密度 能量信号的自相关函数和其能量谱密度是一对傅里叶变换,即 功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换,即 以上关系称为维纳-辛钦定理。该定理为谱密度的求解提供了另一条途径,即通过自相关函数来求得信号的谱密度。 【例2-5】 求余弦信号 的PSD和平均功率。 解:余弦(或正弦
9、)信号都是周期性功率信号,它的自相关函数为,利用积化和差三角函数公式,可得 利用维纳-辛钦定理 ,可得信号的PSD: 信号的平均功率为 或 正弦信号与余弦信号具有相同的PSD、自相关函数和平均功率。 习惯把 和 统称为正弦信号。,2.3 随 机 过 程,本节内容是本课程的数学基础,因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性,需要用随机过程的理论来描述。 随机过程的基本概念和数字特征; 平稳、高斯、窄带过程的统计特性; 随机过程通过线性系统; 高斯白噪声的统计特性。,2.3.1 何谓随机过程? 随机过程可定义为所有样本函数的集合。其在任意时刻上的取值是一个随机变量,因此又可定义为在时间进程中处于不
10、同时刻的随机变量的集合。 图2-4 随机过程的样本 2.3.2 数字特征 分布函数或概率密度函数可充分地描述随机过程的统计特性。 数字特征可描述随机过程的基本特性。常用的数字特征有均值、方差和相关函数。,1均值或数学期望 含义:均值 表示随机过程n个样本曲线的摆动中心(见图2-4中虚线)。 2方差 含义:方差反映了随机过程在任意时刻的取值偏离均值的程度。 3自相关函数 若 并令 ,则相关函数 可写成 含义:描述随机过程在不同时刻的取值之间的关联程度。,2.4 平稳随机过程,2.4.1 平稳性 严(狭义)平稳:随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。 宽(广义)平稳: 均值与 t 无关 自相关函
11、数仅与时间间隔有关 严平稳必然宽平稳,反之不一定(高斯例外)。 通信系统中的信号与噪声大多可视为宽平稳过程。,2.4.2 各态历经性 如果平稳过程 的统计平均等于它的任意一个样本 的时间平均,即 则称该平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性的意义: 可用一个样本的“时间平均”替代随机过程的“统计平均(需要对随机过程的所有样本求平均)”,使得测量和计算的问题大大简化。,2.4.3 自相关函数的性质 平稳随机过程 的自相关函数只是时间差 的函数,即 它具有如下性质: (1) 的平均功率 (2) 的直流功率 (3) (方差) 的交流功率 当均值为0时,有 (4) 的偶函数 (5) 时有最大值,2
12、.4.4 功率谱密度 平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换关系,即 简记为 称为维纳-辛钦定理。它建立了平稳过程频域和时域的联系。 (1)当 时,有 即功率谱密度(PSD)的积分面积等于归一化平均功率。 (2)功率谱密度(PSD)具有非负性和实偶性,即,2.5 高斯随机过程,2.5.1 定义与特性 高斯过程的n维(n=1,2,)分布都服从正态分布。 高斯过程的统计特性完全由它的数字特征决定。 它的一维分布完全可由均值和方差来描述。 (1)若高斯过程是宽平稳的,则也是严平稳的。 (2)若高斯过程在不同时刻的取值是不相关的, 则它们也是统计独立的。 (3)高斯过程经过线性系统后的过程仍
13、是高斯过程。 以上几个性质在对高斯过程进行数学处理时十分有用。,2.5.2 一维高斯(或正态)分布 高斯过程在任意时刻上的取值是一个高斯随机变量,其一维概率密度函数为 具有如下特性: 曲线对称于 这条直线。 的图形将随 的减小 而变得尖锐,说明随机变量X 落在a点附近的概率越大。,在分析数字通信系统的抗噪声性能时,往往需要计算高斯随机变量X小于或等于某一取值 的概率 ,记为 式中, 称为分布函数,是概率密度函数 的积分,即 (2-5-3) 为了便于计算上式积分的结果,常引用一些在数学手册上可查函数值的特殊函数来表示F(x)。例如,误差函数和互补误差函数,其公式与性质如表2-4所示。,表2-4
14、误差函数和互补误差函数,若对式(2-5-3)的积分区间进行处理(如 ),然后进行变量代换,令 ,并与式(2-5-4)或式(2-5-5)联系,则有 (2-5-8) 利用函数 或函数 表示F(x)的好处是,其简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,2.6 随机过程通过线性系统,对于线性时不变系统,其输出过程 是输入过程 与系统单位冲激响应 的卷积,即 根据上式,若给定 的统计特性,则可求得 的统计特性,结果如表2-5所示。 表2-5 平稳随机过程通过线性系统 表2-5中, 为线性系统的频率响应,且 ;H(0)是线性系统在 处的频率响应,即直流增益; 是线性系统的功率增益。,2.7 窄带随机过程,例子:调频(FM)信号、数字调相(2PSK)信号、白噪声通过带通滤波器后的噪声等。 谱特征: 频带宽度 (中心频率),且 0。 样本波形:包络 随机缓变的正弦波。 表达式: 等价式: 式中, ,