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1、,测试信号分析与处理课程,第四章 离散傅里叶变换及其 快速算法,第一节 序列的傅里叶变换（DTFT） 第二节 离散傅里叶级数（DFS） 第三节 离散傅里叶变换（DFT） 第四节 离散傅里叶变换的性质,,测试信号分析与处理课程,第五节 快速傅里叶变换（FFT） 第六节 IDFT的快速算法（IFFT） 第七节 实序列的FFT高效算法 第八节 用FFT计算线卷积和相关运算 第九节 MATLAB中用于FFT计算的函数简介,,第一节 序列的傅里叶变换,一、定义 已知序列 的Z变换为 如X(Z)在单位圆上是收敛的，则将在单位圆上的Z变 换定义为序列的傅里叶变换，即 由于序列的傅里叶变换定义为单位圆上的Z变
2、换，因 此其同Z变换具有相同的性质。,,第一节 序列的傅里叶变换,二、物理意义与存在条件 连续信号的傅里叶反变换为 Z反变换的围线积分公式为 将积分围线c取在单位圆上，则有,,第一节 序列的傅里叶变换,两者相比 前者是连续信号不同频率的复指数分量，后者是序列不同频率的复指数分量； 两者都是频域中频率的概念， 表示模拟角频率，表示数字角频率； 前者是连续信号在时域的表示，可以分解为一系列不同频率的复指数分量的叠加，分量的复振幅为 ，后者是序列在时域的表示，可以分解为一系列不同数字角频率分量的叠加，分量的复振幅为 。,,第一节 序列的傅里叶变换,前者有连续信号频谱密度的意义，是频谱的概念，后者是序
3、列的傅里叶变换，可以看作是序列的频谱。 是模拟角频率，变化范围是没有限制的，高频部分可以趋于；而数字角频率的变化虽然是连续的，但变化范围限制在内,序列的傅里叶变换对,,第一节 序列的傅里叶变换,序列的傅里叶变换既然定义为单位圆上的Z变换，所以它的存在条件是序列的Z变换必须在单位圆上是收敛的，即 上式说明序列的傅里叶变换存在的条件是序列必须绝对可和。,,第一节 序列的傅里叶变换,三、特点与应用 非周期序列的傅里叶变换（频谱）的特点在于它是 的连续周期函数，其周期为 。 序列x(n)与其傅里叶变换两者正好是互为傅里叶级数的变换关系。,,第一节 序列的傅里叶变换,序列可以表示为复指数序列分量的叠加，
4、适用于 叠加原理在线性时不变系统的分析。这种系统对复指 数序列的响应完全由系统的频率响应 确定。 一个线性时不变系统对于输入 的输出响应，就 是对它的每个复指数序列分量的响应的叠加，则输出 响应 应为 则输出的傅里叶变换为,,第二节 离散傅里叶级数（DFS）,一、傅里叶变换在时域和频域中的对称规律 a)时域上的非周期性对应频域上的连续性,,第二节 离散傅里叶级数（DFS）,b)时域上的周期性将产生频域的离散性。,,第二节 离散傅里叶级数（DFS）,c)时域上的离散性将产生频谱的周期性。,,第二节 离散傅里叶级数（DFS）,d)时域上的离散周期信号，其频谱是周期离散的。,,第二节 离散傅里叶级数
5、（DFS）,一个域中（时域或频域）是连续的，对应另一个域中（频域或时域）是非周期的。 一个域中（时域或频域）是离散的，对应另一个域中（频域或时域）是周期的。,,第二节 离散傅里叶级数（DFS）,二、离散傅里叶级数 离散周期信号的频谱，即离散傅里叶级数(DFS)。 离散傅里叶级数的变换对表达式 其中,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,一、离散傅里叶变换DFT定义式 离散傅里叶变换就是对有限长序列进行傅里叶变换的表示式。 主值序列：对于一个周期序列 ，定义它的第一个周期的有限长序列值为此周期序列的主值序列，用表示 为 主值序列也可以表示为周期序列和一个矩形序列相乘的结果，即,,第三节 离散傅里叶
6、变换（DFT）,周期序列 也可以看作是长度为N的有限长序列 以N为周期延拓而形成了。 有了主值序列的概念，再来考察DFS的定义式，只需 用主值序列 ， 即可求出并完全地表达周期无 限长序列 ， ，这样就得到了任意有限长序列 的离散傅立叶变换对,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,矩阵形式 或,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,例4-1 用矩阵表示式求矩形序列 的DFT，再由所得 经IDFT反求 ，验证所求结果的正确性。 解： ，故 再由 反变换求,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,二、DFT的物理意义 设一有限长序列 的长度为N点，其Z变换为 因序列为有
7、限长，满足绝对可和的条件，其Z变换的 收敛域必定包含单位圆在内，则序列的傅里叶变换， 即单位圆上的Z变换存在，且为,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,以 为间隔，把单位圆均匀等分为N个点，则 在第k个等分点，即 点上的值为 故有限长序列的离散傅里叶变换DFT是这一序列频谱 （序列傅里叶变换）的抽样值。,,第三节 离散傅里叶变换（DFT）,有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的Z变换（即有限长序列的傅里叶变换或频谱）以 为间隔的抽样值,,第四节 离散傅里叶变换的性质,线性特性 若 ， 则 式中a、b为任意常数。如果两个序列的长度不相等， 以最长的序列为基准，对短序列要补零，使序列长度 相等，才
8、能进行线性相加，经过补零的序列频谱会变 密，但不影响问题的性质。,,第四节 离散傅里叶变换的性质,时移特性 1）圆周移位序列 将长度为N的序列 进行周期延拓，周期为N，构成 周期序列 ，然后对周期序列 作m位平行移位 处理，得移位序列 ，再取其主值序列（与一 矩形序列 相乘），得到的 就是圆 周移位序列。,,第四节 离散傅里叶变换的性质,,第四节 离散傅里叶变换的性质,2）时移定理 若 则 时移定理表明，序列在时域上圆周移位，频域上 将产生附加相移，对上式进行反变换可以得到,,第四节 离散傅里叶变换的性质,频移特性 若 则 上述特性说明，若序列在时域上乘以复指数序 列 ，则在频域上 将圆周移
9、位，这可以看作 调制信号的频谱搬移，因而又称为“调制定理”。,,第四节 离散傅里叶变换的性质,圆周卷积特性 1）时域圆周卷积 若对N点序列有 ， ， ，则 2）频域圆卷积 若,,第四节 离散傅里叶变换的性质,实数序列奇偶性（对称性） 设x(n)是实序列， 则 X(k)的幅度和相位分别为 他们分别为k的偶函数和奇函数，并分别具有半周期 偶对称和奇对称的特点。,,第四节 离散傅里叶变换的性质,帕斯瓦尔定理 若 ，则 式左端代表离散信号在时域中的能量，右端代表 在频域中的能量，该式表明变换过程中能量是守恒 的。,,第五节 快速傅里叶变换,一、DFT运算的特点 1.DFT直接运算的工作量 N点序列x(
10、n)的DFT为 按定义计算DFT时，需作 次复数乘和 次复数加。 由于直接计算量非常大，不可能实现信号的实时处理，因此必须改进DFT的算法。,,第五节 快速傅里叶变换,2.DFT运算特点 1) 的周期性 2) 的对称性 因为 故,,第五节 快速傅里叶变换,3) 的可约性,,第五节 快速傅里叶变换,利用上述结果，如对应于N=4的矩阵W可以简化为 上式右端的矩阵中的元素有许多是相等的，计算量明显减少。由原来的16个元素变成只有两个独立元素需要计算。,,第五节 快速傅里叶变换,二、基2时析型FFT算法（时间抽取法） 1.算法原理 对长度为 （L为正整数，若原序列的长度不满足此条件，则可用零补足）的序列x(n),按序列各项序号的奇偶将序列分成两个子序列（大点数化为小点数），有 偶序号序列 奇序号序列 其中 ，两序列的长度均为N/2。且其DFT 分别为,,第五节 快速傅里叶变换,上式中，右边即为x(n)的前一半DFT值,,第五节 快速傅里叶变换,对于另外N/2个点的DFT,即 的 ，可表示为 根据周期性，有 由对称性，有,,第五节 快速傅里叶变换,x(n)的DFT最后结果 x(n)的DFT可由奇偶对分序列的DFT合成而获得。该计算关系可用右图来表示。由于图形酷似蝴蝶，所以称之为蝶形图（或蝶形单元）。上式也因而称为蝶形算法。,
