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1、1,附录C 平面图形的几何性质,A,IP,WP,2,C-1 静矩和形心,一.简单图形的静矩,1.静矩定义：,dA对y轴的微静矩：,量纲：长度3,dA对z轴的微静矩：,静矩的值可以是正值、负值、或零。,（面积矩）,单位：m3、cm3、mm3,整个图形对z轴的静矩：,整个图形对y轴的静矩：,讨论,3,2.静矩和形心的关系,可知：,静矩和形心的关系,由平面图形的形心公式,结论：,图形对过形心的轴的静矩,为零。,若图形对某轴的静矩为零，,则此轴一定过图形的形心。,4,例1 求图形对y、z 轴的静矩。,积分法,解：,图形对过形心的轴的静矩为零,5,二.简单图形的形心,1.形心坐标公式：,2.形心确定的规
2、律：,（1）图形有一条对称轴时，形心必在此对称轴上。,（2）图形有两条对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。,P282 附录A 简单形体的形心,平面图形,（对称性）,6,三.组合图形的静矩：,四.组合图形的形心：,利用基本图,基本图形,（由若干个基本图形组合而成的图形）,分割法,负面积法,- 指面积、形心位置已知的图形,形的结果，可使,组合图形的形心,计算简单。,7,例2 试确定下图的形心。,80,10,10,解1：,2)求形心,120,1)分割法,8,解2：,2)求形心,1)负面积法,9,解：,2)求形心,上例 试确定下图的形心。,1)分割图形 如图所示,10,C-2 惯性矩和惯性积,一.简
3、单图形的惯性矩与极惯性矩,1.惯性矩定义：,dA对z轴的惯性距：,dA对y轴的惯性距：,z,y,O,惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。,惯性矩的取值恒为正值。,2.极惯性矩：,（对O点而言）,整个图形对z轴的惯性矩：,整个图形对y轴的惯性矩：,讨论,单位：m4、mm4。,量纲：长度4,11,3.惯性矩与极惯性矩的关系：,图形对任一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和,恒等于,此图形对该两轴交点的极惯性矩。,12,4.简单图形惯性矩的计算, 圆形截面：,实心(直径D) ,空心(外径D、内径d) , 矩形截面：,IP ?,WP ?,13,二.惯性半径：,三.简单图形的惯性积：,1.惯性积定义：,量纲：长度4
4、，,惯性积是对轴而言。,惯性积的取值为正值、负值、零。,2.规律：,两坐标轴中，,讨论,则图形对这一对坐标轴的惯性积,只要有一个轴为图形的对称轴，,单位：m4、mm4。,为零。,14,解：,C,已知：,求：Iz、Iy。,C-3 平行移轴公式,一.平行移轴公式,Izc、Iyc、a、b。z轴平行,于zC轴；y轴平行于yC轴。,图形截面积A、形心坐标、,平行轴惯性矩之间关系,15,二.组合图形的惯性矩和惯性积,注意：,C, 平行移轴公式,组合法,根据惯性矩和惯性积的定义,a、b为图形形心C在Oyz坐标系的坐标值，,组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）,等于,（或惯性积）之和.,zC、yC为形心坐标轴
5、。,易得：,其各组成部分对于同一轴的惯性矩,可正可负。,16,例3 求图示直径为 d 的半圆对其自身形心轴 xC 的惯性矩。,解：,1.求半圆的形心位置 yC,b(y),dy,17,2.求半圆对形心轴 xC 的惯性矩,由 平行移轴公式 得：,求：Ix1 ?,18,例4 试求图a 所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。,解：,1.矩形对 x 轴的惯性矩：,2.一个半圆对其自身形心轴,C,将截面看作一个矩形和两个半圆组成。,xC 轴的惯性矩,（见上例）,19,3.一个半圆对 x 的惯性矩：,由 平行移轴公式 得：,4.整个截面对于对称轴 x 的惯性矩：,P110 习题：1(b) P111 习题：3、4
6、,(并求图形对于过形心水平轴的惯性矩),矩形对 y 轴的惯性矩?,20,B,C,D,E,C-4 惯性矩和惯性积的转轴公式,dA 在坐标系 Ozy 和坐标系 Oz1 y1 的,代入惯性矩的定义式：,已知：A、Iz、Iy、Izy、a。,求：Iz1、Iy1、Iz1y1。,坐标分别为（z、y）和（z1、y1）,21,利用二倍角函数代入上式，得,a 的正负号为：,同理：,a 从z轴至 z1轴逆时针,为正，顺时针为负。,转轴公式：,22,上式表明，,将前两式相加得：,惯性矩和惯性积的转轴公式：,的坐标轴的惯性矩之和为一常数。,点的极惯性矩。,截面对于通过同一点的任意一对相互垂直,并等于截面对该坐标原,23
7、,C-5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩,24,可求得 和 两个角度，从而确定两根轴 y0、z0。,0,0 0,主惯性矩,主惯性轴,25,2.主惯性矩,图形对主轴的惯性矩 Iz0、Iy0 称为主惯性矩。,3.形心主惯性轴,如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯性,4.形心主惯性矩,图形对形心主轴的惯性矩。,由此引出几个概念：,1.主惯性轴,如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为,图形过该点的主惯性轴。,过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。,轴。,（主惯矩）：,（形心主轴）：,（形心主惯矩）：,（主轴）：,主惯性矩为图形对,（IzC yC = 0，且 zC、yC 为形心轴。则 zC、yC为形心主轴）。,（IzC、IyC）,26,5.求截面形心主惯性矩的基本步骤：,1)建立坐标系。,2)求形心位置。,3)建立形心坐标系；,4)确定形心主轴位置 0 ：,5)求形心主惯性矩,求：IyC、IzC、IzC yC。,对称轴,27,6.几个结论：,若截面有一根对称轴,若截面有二根对称轴,若截面有三根对称轴,之一，另一形心主惯性轴为通过形心并,与该对称轴垂直的轴。,，则此轴即为形心主惯性轴,轴。,，则此二轴即为形心主惯性,形心主惯性轴。,，则通过形心的任一轴均为,且主惯性矩相等。,
