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1、本资料来源,正态分布,也称常态分布,是统计学中一种应用广泛的连续分布,用来描述随机现象。首先由德国数学家高斯(Carl Friedrich Gauss 1777-1855)发现,所以亦称高斯分布。 正态分布现大量应用于误差分析,及质量管理上 ,可以这样说,没有正态分布,就没有数理统计,没有正态分布,就没有现代化企业。,Carl Friedrich Gauss,正态分布的定义是什么呢?,对于连续型随机变量,一般是给出它的概率密度函数.,一、正态分布的定义,如果连续随机变量的概率密度为 :,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数, 任意, 0, 则称X服从参数为 和 的正态
2、分布.,正态分布有些什么性质呢?,由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述,我们来看看正态分布的密度函数有什么特点.,正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小,中间大,左右对称”.,决定了图形的中心位置, 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,能不能根据密度函数的表达式,得出正态分布的图形特点呢?,容易看到,f(x)0,即整个概率密度曲线都在x轴的上方;,故f(x)以为对称轴,并在x=处达到最大值:,令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得,f (+c)=f (-c),且 f (+c) f (), f (-c)f
3、 (),这说明曲线 f(x)向左右伸展时,越来越贴近x轴. 即f (x)以x轴为渐近线.,当x 时,f(x) 0,为f (x)的两个拐点的横坐标.,x = ,拐点坐标为 ,在 内是凸的,其它范围内是凹的。,根据对密度函数的分析,也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,二、正态曲线( normal curve ),图形特点: 钟型 中间高 两头低 左右对称 最高处对应于X轴的值就是均数 曲线下面积为1 标准差决定曲线的形状,决定曲线的位置,决定曲线的“胖瘦”,(4)服从正态分布的总体特征,产品尺寸这一典型总体,它服从正态分布。,它的特征:生产条件正常稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可
4、以控制的条件都相对稳定,而且不存在产生系统误差的明显因素。,一般地,当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果,而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时,这个随机变量就被认为服从正态分布。,用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图.,从直方图,我们可以初步看出,年降雨量近似服从正态分布.,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.,红线是拟合的正态密度曲线,可见,某大学男大学生的身高应服从正态分布.,人的身高高低不等,但中等身材的占大多数,特高和特矮的只是少数,而且较高和较矮的人数大致相近,这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点.,请大家想一想,实际生活中以及
5、工作种具有这种特点的随机变量还有哪些呢?,除了我们在前面遇到过的年降雨量外,在正常条件下各种产品的质量指标,如零件的尺寸;纤维的强度和张力;某地区成年男子的身高、体重;农作物的产量,小麦的穗长、株高;测量误差,射击目标的水平或垂直偏差;信号噪声等等,都服从或近似服从正态分布.,正态分布由它的两个参数和唯一确定, 当和不同时,是不同的正态分布.,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,二、标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示:,标准正态分布的重要性在于,任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.它的依据是下面的定理:,根据定
6、理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表,就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则,N(0,1),设,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表,有了它,可以解决一般正态分布的概率计算查表.,三、正态分布表,表中给的是x0时, (x)的值.,当-x0时,若,N(0,1),若 XN(0,1),利用下表,可求出标准正态总体在任一区间内 取值的概率。,即,可用如图的蓝色阴影部分表示。,公式:,由标准正态分布的查表计算可以求得,,这说明,X的取值几乎全部集中在-3,3区间内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时,,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,四、3 准则,