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1、第3章 连续时间信号与系统的频域分析,3.5连续时间LTI系统的频域分析 3.6连续系统的时域抽样定理 3.7连续系统频域分析的MATLAB实现,3.5.1 基本信号 激励下的零状态响应,3.5连续时间LTI系统的频域分析,3.5.2 非周期信号x(t)激励下的零状态响应,对于一个LTI系统，当单位冲激响应为h(t)，激励为非周期信号x(t)时，系统的零状态响应为,例：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = x(t) 求（1）系统的频率特性（2）x(t) = e-t(t)时的响应y(t)。,解：（1）微分方程两边取傅里叶变换,jY() + 2Y() = X(),（2）,系统的频率响应
2、（频率特性）,零状态,频率响应H()可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y()与激励x(t)的傅里叶变换X()之比，即,傅里叶变换法,H()称为幅频特性（或幅频响应）； 称为相频特性（或相频响应）。H()是的偶函数， 是的奇函数。,3.5.3 系统的频率响应,频率响应H()的求法,1. H() = FT h(t),2. H() = Y()/X() 由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 由电路直接求出。,3.5.3 系统的频率响应,冲激响应h(t)表示了信号处理系统的时域特性，而频率响应 表示了系统的频域特性。因此，求解线性时不变系统的响应问题也可通过傅里叶变换转换到频域中进行。,3.5.4
3、 系统的无失真传输,系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。,1、无失真传输,（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。 即： 输入信号为x(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K x(tt0),a 时域条件,b 频域条件,（2）无失真传输的系统条件,（3）线性失真,在线性系统中出现的失真称为线性失真。 在线性失真时，输出信号中不会出现输入信号中所没有的新的频率成分。,解：,例：,3.5.5 理想低通滤波器,
4、具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。 理想低通滤波器的频率响应可写为：,c称为截止角频率。信号中所有高于c的频率分量将被完全阻止而不能通过系统，而低于c的频率分量会无失真地通过系统。,理想低通滤波器的冲激响应,可见，理想低通滤波器的冲激响应为一个延时的 Sa函数，其峰值较激励信号延迟了t0时刻。,该系统实际上是物理不可实现的非因果系统。,3.4 信号的频域处理,实际模拟滤波器,1. 一阶RC滤波器,系统频率特性为,(1)低通,其幅频特性和相频特性如图所示：,3.4 信号的频域处理,(2)高通,2.无源LC滤波器,低通,高通,3.4 信号的频域处理,3.二阶有源RC滤波器（Sal
5、len-Key低通滤波器 ）,其中通带频率,Q为电路的品质因数，b为跟电路参数有关的系数。,系统函数,3.4 信号的频域处理,例：,解：,例：,解：,解：,例,解：,g,解：,解：,解：,采样信号的频谱能否反映原模拟信号的频谱？如何将数字信号恢复为模拟信号？,对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期Ts合上一次，每次合上的时间为Ts，在电子开关输出端得到其采样信号（实际采样）。当电子开关闭合时间非常短时，就可以认为它是冲激函数（理想采样）。,3.6 连续系统的时域抽样定理,3.6.1 信号的时域抽样,实际采样时，电子开关的作用可以等效成一宽度为，周期为Ts的
6、矩形脉冲串p(t)。,理想采样时0，电子开关的作用可以等效成单位冲激函数串p (t)。,Ts-采样间隔，s=2/Ts为抽样频率。,时域分析：,kTs,频域分析,这表明：对连续时间信号在时域理想抽样，就相当于在频域以抽样频率s为周期进行延拓，幅值减小1/Ts。要使频谱不混迭，就必须使信号带限，且,这就是时域抽样的约束条件。,即,设 是某一个带限信号，在| M时，X（）=0。如果抽样频率 s2 M ，其中 s 2/Ts, 那末 就唯一地由其样本 所确定。 已知这些样本值，我们能用如下办法重建：让抽样后的信号通过一个增益为Ts, 截止频率大于M，而小于（ s M）的理想滤波器，该滤波器的输出就是 。
7、,该定理称为奈奎斯特定理, 抽样频率称为奈奎斯特率， 奈奎斯特间隔。 称为奈奎斯特区间。,抽样定理,将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离散化必须满足三个条件：,即： 1. 带限于M 。,2. s2M,3. M c（s M）。可取c s /2.,例 设f(t)为限带信号，频带宽度为 ，其频谱 如图所示。 （1）求f(2t)，f(t/2)的带宽、奈奎斯特抽样频率 与奈奎斯特间隔 。 （2）设用抽样序列 ,其中 ， 对信号f(t)进行抽样，得抽样信号fs(t)，求fs(t)的 频谱 ，画出频谱图。 （3）若用同一个 对f(2t)，f(t/2)分别进行抽样，试 画出两个抽样信号fs(2t)，fs
8、(t/2)的频谱图。,解 （1）,频带宽度为 奈奎斯特频率 奈奎斯特间隔,频带宽度为 奈奎斯特频率 奈奎斯特间隔,解 （2）,解 （3）,解：,例,解：,的最高频率300Hz，则最小采样频率 fs600Hz。,的最高频率2100Hz，则最小采样频率 fs400Hz。,的最高频率100Hz，则最小采样频率 fs200Hz。,的最高频率200Hz，则最小采样频率 fs400Hz。,例,例,解:,（1）,例,解:,（1）,例,解:,（1）,例,解:,（2）,例,解:,（3）令,则,例,解：,3.6.2 信号x(t)的恢复(将数字信号转换成模拟信号),当满足采样定理时，由采样信号得到模拟信号，只需经过
9、一个低通滤波器，把周期性的重复部分滤除掉即可。理论分析如下。,理想低通滤波器的频率特性为,式中c是滤波器的通带频率，TS为采样间隔。,抽样信号经过滤波器后的输出为：,（利用对偶性质）,上式表明，由无穷多用x ( nTs )加权的内插函数移位后的和，即可重建出原模拟信号。,由抽样信号恢复原信号,实际采样与理想采样的差别,理想周期单位冲激串p(t)是一个不可实现的信号，这是因为采样需要花费时间，因此实际采样是用图4-7所示的脉宽为、振幅为A的矩形脉冲串代替p(t)。,脉冲串抽样,矩形脉冲抽样序列及其抽样信号的频谱,若信号x(t)是带限的，最高频率为M，采样函数为周期脉冲串，且采样频率也满足S2M的条件，这种情况下X()在延拓的过程中加权系数不为恒定值，而是逐渐衰减，如图所示。但这种情况下也能够无失真地恢复原信号x(t)。,作业 3-9；3-11；3-13 3-14；3-17；3-18 3-20；3-21；3-22,
